Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 10 & 5 & 18 \\ 4 & - 15 & - 5 \\ 1 & 8 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} - 7 & 2 & - 14 \\ 17 & 3 & - 13 \\ 16 & 15 & 10 \end{array}]$

Schritt 1

Multipliziere $[\begin{array}{c} 10 & 5 & 18 \\ 4 & - 15 & - 5 \\ 1 & 8 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} - 7 & 2 & - 14 \\ 17 & 3 & - 13 \\ 16 & 15 & 10 \end{array}]$ .

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Schritt 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 3$ and the second matrix is $3 \times 3$ .

Schritt 1.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

$[\begin{array}{c} 10 \cdot - 7 + 5 \cdot 17 + 18 \cdot 16 & 10 \cdot 2 + 5 \cdot 3 + 18 \cdot 15 & 10 \cdot - 14 + 5 \cdot - 13 + 18 \cdot 10 \\ 4 \cdot - 7 - 15 \cdot 17 - 5 \cdot 16 & 4 \cdot 2 - 15 \cdot 3 - 5 \cdot 15 & 4 \cdot - 14 - 15 \cdot - 13 - 5 \cdot 10 \\ 1 \cdot - 7 + 8 \cdot 17 + 0 \cdot 16 & 1 \cdot 2 + 8 \cdot 3 + 0 \cdot 15 & 1 \cdot - 14 + 8 \cdot - 13 + 0 \cdot 10 \end{array}]$

Schritt 1.3

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

$[\begin{array}{c} 303 & 305 & - 25 \\ - 363 & - 112 & 89 \\ 129 & 26 & - 118 \end{array}]$

Schritt 2

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Schritt 2.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 2.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 112 & 89 \\ 26 & - 118 \end{array} |$

Schritt 2.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$303 | \begin{array}{c} - 112 & 89 \\ 26 & - 118 \end{array} |$

Schritt 2.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 363 & 89 \\ 129 & - 118 \end{array} |$

Schritt 2.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 305 | \begin{array}{c} - 363 & 89 \\ 129 & - 118 \end{array} |$

Schritt 2.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 363 & - 112 \\ 129 & 26 \end{array} |$

Schritt 2.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 25 | \begin{array}{c} - 363 & - 112 \\ 129 & 26 \end{array} |$

Schritt 2.9

Add the terms together.

$303 | \begin{array}{c} - 112 & 89 \\ 26 & - 118 \end{array} | - 305 | \begin{array}{c} - 363 & 89 \\ 129 & - 118 \end{array} | - 25 | \begin{array}{c} - 363 & - 112 \\ 129 & 26 \end{array} |$

Schritt 3

Berechne $| \begin{array}{c} - 112 & 89 \\ 26 & - 118 \end{array} |$ .

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Schritt 3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$303 (- 112 \cdot - 118 - 26 \cdot 89) - 305 | \begin{array}{c} - 363 & 89 \\ 129 & - 118 \end{array} | - 25 | \begin{array}{c} - 363 & - 112 \\ 129 & 26 \end{array} |$

Schritt 3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere $- 112$ mit $- 118$ .

$303 (13216 - 26 \cdot 89) - 305 | \begin{array}{c} - 363 & 89 \\ 129 & - 118 \end{array} | - 25 | \begin{array}{c} - 363 & - 112 \\ 129 & 26 \end{array} |$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $- 26$ mit $89$ .

$303 (13216 - 2314) - 305 | \begin{array}{c} - 363 & 89 \\ 129 & - 118 \end{array} | - 25 | \begin{array}{c} - 363 & - 112 \\ 129 & 26 \end{array} |$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $2314$ von $13216$ .

$303 \cdot 10902 - 305 | \begin{array}{c} - 363 & 89 \\ 129 & - 118 \end{array} | - 25 | \begin{array}{c} - 363 & - 112 \\ 129 & 26 \end{array} |$

Schritt 4

Berechne $| \begin{array}{c} - 363 & 89 \\ 129 & - 118 \end{array} |$ .

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Schritt 4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$303 \cdot 10902 - 305 (- 363 \cdot - 118 - 129 \cdot 89) - 25 | \begin{array}{c} - 363 & - 112 \\ 129 & 26 \end{array} |$

Schritt 4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $- 363$ mit $- 118$ .

$303 \cdot 10902 - 305 (42834 - 129 \cdot 89) - 25 | \begin{array}{c} - 363 & - 112 \\ 129 & 26 \end{array} |$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $- 129$ mit $89$ .

$303 \cdot 10902 - 305 (42834 - 11481) - 25 | \begin{array}{c} - 363 & - 112 \\ 129 & 26 \end{array} |$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $11481$ von $42834$ .

$303 \cdot 10902 - 305 \cdot 31353 - 25 | \begin{array}{c} - 363 & - 112 \\ 129 & 26 \end{array} |$

Schritt 5

Berechne $| \begin{array}{c} - 363 & - 112 \\ 129 & 26 \end{array} |$ .

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Schritt 5.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$303 \cdot 10902 - 305 \cdot 31353 - 25 (- 363 \cdot 26 - 129 \cdot - 112)$

Schritt 5.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $- 363$ mit $26$ .

$303 \cdot 10902 - 305 \cdot 31353 - 25 (- 9438 - 129 \cdot - 112)$

Schritt 5.2.1.2

Mutltipliziere $- 129$ mit $- 112$ .

$303 \cdot 10902 - 305 \cdot 31353 - 25 (- 9438 + 14448)$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 9438$ und $14448$ .

$303 \cdot 10902 - 305 \cdot 31353 - 25 \cdot 5010$

Schritt 6

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $303$ mit $10902$ .

$3303306 - 305 \cdot 31353 - 25 \cdot 5010$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 305$ mit $31353$ .

$3303306 - 9562665 - 25 \cdot 5010$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $- 25$ mit $5010$ .

$3303306 - 9562665 - 125250$

Schritt 6.2

Subtrahiere $9562665$ von $3303306$ .

$- 6259359 - 125250$

Schritt 6.3

Subtrahiere $125250$ von $- 6259359$ .

$- 6384609$