Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} r & 1 & 1 \\ 0 & r & 2 r \\ - 1 & - 1 & - 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 1

Multiplying any matrix by an identity matrix is the matrix itself.

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Schritt 1.1

Two matrices can be multiplied if and only if the number of columns in the first matrix is equal to the number of rows in the second matrix. In this case, the first matrix is $3 \times 3$ and the second matrix is $3 \times 3$ .

Schritt 1.2

Multipliziere jede Zeile in der ersten Matrix mit jeder Spalte in der zweiten Matrix.

$[\begin{array}{c} r \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 & r \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & r \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \\ 0 \cdot 1 + r \cdot 0 + 2 r \cdot 0 & 0 \cdot 0 + r \cdot 1 + 2 r \cdot 0 & 0 \cdot 0 + r \cdot 0 + 2 r \cdot 1 \\ - 1 \cdot 1 - 0 - 0 & - 0 - 1 \cdot 1 - 0 & - 0 - 0 - 1 \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 1.3

Vereinfache jedes Element der Matrix durch Ausmultiplizieren aller Ausdrücke.

$[\begin{array}{c} r & 1 & 1 \\ 0 & r & 2 r \\ - 1 & - 1 & - 1 \end{array}]$

Schritt 2

Find the determinant.

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Schritt 2.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

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Schritt 2.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 2.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 2.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 2.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 2.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} r & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 2.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$r | \begin{array}{c} r & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 2.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} r & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 2.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$- 2 r | \begin{array}{c} r & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 2.1.9

Add the terms together.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} | + r | \begin{array}{c} r & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} | - 2 r | \begin{array}{c} r & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$ .

$0 + r | \begin{array}{c} r & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} | - 2 r | \begin{array}{c} r & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 2.3

Berechne $| \begin{array}{c} r & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$ .

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Schritt 2.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$0 + r (r \cdot - 1 - (- 1 \cdot 1)) - 2 r | \begin{array}{c} r & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 2.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $r$ .

$0 + r (- 1 \cdot r - (- 1 \cdot 1)) - 2 r | \begin{array}{c} r & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe $- 1 r$ als $- r$ um.

$0 + r (- r - (- 1 \cdot 1)) - 2 r | \begin{array}{c} r & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 2.3.2.3

Multipliziere $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 2.3.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 + r (- r - - 1) - 2 r | \begin{array}{c} r & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 2.3.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$0 + r (- r + 1) - 2 r | \begin{array}{c} r & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$

Schritt 2.4

Berechne $| \begin{array}{c} r & 1 \\ - 1 & - 1 \end{array} |$ .

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Schritt 2.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$0 + r (- r + 1) - 2 r (r \cdot - 1 - (- 1 \cdot 1))$

Schritt 2.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.2.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $r$ .

$0 + r (- r + 1) - 2 r (- 1 \cdot r - (- 1 \cdot 1))$

Schritt 2.4.2.2

Schreibe $- 1 r$ als $- r$ um.

$0 + r (- r + 1) - 2 r (- r - (- 1 \cdot 1))$

Schritt 2.4.2.3

Multipliziere $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 2.4.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 + r (- r + 1) - 2 r (- r - - 1)$

Schritt 2.4.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$0 + r (- r + 1) - 2 r (- r + 1)$

Schritt 2.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.5.1

Addiere $0$ und $r (- r + 1)$ .

$r (- r + 1) - 2 r (- r + 1)$

Schritt 2.5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r (- r) + r \cdot 1 - 2 r (- r + 1)$

Schritt 2.5.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- r \cdot r + r \cdot 1 - 2 r (- r + 1)$

Schritt 2.5.2.3

Mutltipliziere $r$ mit $1$ .

$- r \cdot r + r - 2 r (- r + 1)$

Schritt 2.5.2.4

Multipliziere $r$ mit $r$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.2.4.1

Bewege $r$ .

$- (r \cdot r) + r - 2 r (- r + 1)$

Schritt 2.5.2.4.2

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$- r^{2} + r - 2 r (- r + 1)$

Schritt 2.5.2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$- r^{2} + r - 2 r (- r) - 2 r \cdot 1$

Schritt 2.5.2.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- r^{2} + r - 2 \cdot - 1 r \cdot r - 2 r \cdot 1$

Schritt 2.5.2.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- r^{2} + r - 2 \cdot - 1 r \cdot r - 2 r$

Schritt 2.5.2.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.2.8.1

Multipliziere $r$ mit $r$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.2.8.1.1

Bewege $r$ .

$- r^{2} + r - 2 \cdot - 1 (r \cdot r) - 2 r$

Schritt 2.5.2.8.1.2

Mutltipliziere $r$ mit $r$ .

$- r^{2} + r - 2 \cdot - 1 r^{2} - 2 r$

Schritt 2.5.2.8.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$- r^{2} + r + 2 r^{2} - 2 r$

Schritt 2.5.3

Addiere $- r^{2}$ und $2 r^{2}$ .

$r^{2} + r - 2 r$

Schritt 2.5.4

Subtrahiere $2 r$ von $r$ .

$r^{2} - r$

Schritt 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Schritt 4

Set up a $3 \times 6$ matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.

$[\begin{array}{c} r & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & r & 2 r & 0 & 1 & 0 \\ - 1 & - 1 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 5

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 5.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{r}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 5.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{r}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{r}{r} & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & \frac{0}{r} & \frac{0}{r} \\ 0 & r & 2 r & 0 & 1 & 0 \\ - 1 & - 1 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 5.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & 0 & 0 \\ 0 & r & 2 r & 0 & 1 & 0 \\ - 1 & - 1 & - 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 5.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Schritt 5.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & 0 & 0 \\ 0 & r & 2 r & 0 & 1 & 0 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & - 1 + \frac{1}{r} & - 1 + \frac{1}{r} & 0 + \frac{1}{r} & 0 + 0 & 1 + 0 \end{array}]$

Schritt 5.2.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & 0 & 0 \\ 0 & r & 2 r & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 + \frac{1}{r} & - 1 + \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 5.3

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{r}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Schritt 5.3.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{r}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & 0 & 0 \\ \frac{0}{r} & \frac{r}{r} & \frac{2 r}{r} & \frac{0}{r} & \frac{1}{r} & \frac{0}{r} \\ 0 & - 1 + \frac{1}{r} & - 1 + \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 5.3.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & \frac{1}{r} & 0 \\ 0 & - 1 + \frac{1}{r} & - 1 + \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 5.4

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - (- 1 + \frac{1}{r}) R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Schritt 5.4.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - (- 1 + \frac{1}{r}) R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & \frac{1}{r} & 0 \\ 0 - (- 1 + \frac{1}{r}) \cdot 0 & - 1 + \frac{1}{r} - (- 1 + \frac{1}{r}) \cdot 1 & - 1 + \frac{1}{r} - (- 1 + \frac{1}{r}) \cdot 2 & \frac{1}{r} - (- 1 + \frac{1}{r}) \cdot 0 & 0 - (- 1 + \frac{1}{r}) \frac{1}{r} & 1 - (- 1 + \frac{1}{r}) \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 5.4.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & \frac{1}{r} & 0 \\ 0 & 0 & 1 - \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & \frac{r - 1}{r^{2}} & 1 \end{array}]$

Schritt 5.5

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{1 - \frac{1}{r}}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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Schritt 5.5.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{1}{1 - \frac{1}{r}}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & \frac{1}{r} & 0 \\ \frac{0}{1 - \frac{1}{r}} & \frac{0}{1 - \frac{1}{r}} & \frac{1 - \frac{1}{r}}{1 - \frac{1}{r}} & \frac{\frac{1}{r}}{1 - \frac{1}{r}} & \frac{\frac{r - 1}{r^{2}}}{1 - \frac{1}{r}} & \frac{1}{1 - \frac{1}{r}} \end{array}]$

Schritt 5.5.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & \frac{1}{r} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{r - 1} & \frac{1}{r} & \frac{r}{r - 1} \end{array}]$

Schritt 5.6

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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Schritt 5.6.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & 0 & 0 \\ 0 - 2 \cdot 0 & 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \frac{1}{r - 1} & \frac{1}{r} - 2 \frac{1}{r} & 0 - 2 \frac{r}{r - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{r - 1} & \frac{1}{r} & \frac{r}{r - 1} \end{array}]$

Schritt 5.6.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & \frac{1}{r} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{2}{r - 1} & - \frac{1}{r} & - \frac{2 r}{r - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{r - 1} & \frac{1}{r} & \frac{r}{r - 1} \end{array}]$

Schritt 5.7

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{r} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Schritt 5.7.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{r} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{r} \cdot 0 & \frac{1}{r} - \frac{1}{r} \cdot 0 & \frac{1}{r} - \frac{1}{r} \cdot 1 & \frac{1}{r} - \frac{1}{r} \cdot \frac{1}{r - 1} & 0 - \frac{1}{r} \cdot \frac{1}{r} & 0 - \frac{1}{r} \cdot \frac{r}{r - 1} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{2}{r - 1} & - \frac{1}{r} & - \frac{2 r}{r - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{r - 1} & \frac{1}{r} & \frac{r}{r - 1} \end{array}]$

Schritt 5.7.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{1}{r} & 0 & \frac{1}{r} - \frac{1}{r (r - 1)} & - \frac{1}{r^{2}} & - \frac{1}{r - 1} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{2}{r - 1} & - \frac{1}{r} & - \frac{2 r}{r - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{r - 1} & \frac{1}{r} & \frac{r}{r - 1} \end{array}]$

Schritt 5.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{r} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Schritt 5.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{1}{r} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{1}{r} \cdot 0 & \frac{1}{r} - \frac{1}{r} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{r} \cdot 0 & \frac{1}{r} - \frac{1}{r (r - 1)} - \frac{1}{r} (- \frac{2}{r - 1}) & - \frac{1}{r^{2}} - \frac{1}{r} (- \frac{1}{r}) & - \frac{1}{r - 1} - \frac{1}{r} (- \frac{2 r}{r - 1}) \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{2}{r - 1} & - \frac{1}{r} & - \frac{2 r}{r - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{r - 1} & \frac{1}{r} & \frac{r}{r - 1} \end{array}]$

Schritt 5.8.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{r} + \frac{1}{r (r - 1)} & 0 & \frac{1}{r - 1} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{2}{r - 1} & - \frac{1}{r} & - \frac{2 r}{r - 1} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{r - 1} & \frac{1}{r} & \frac{r}{r - 1} \end{array}]$

Schritt 6

The right half of the reduced row echelon form is the inverse.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{r} + \frac{1}{r (r - 1)} & 0 & \frac{1}{r - 1} \\ - \frac{2}{r - 1} & - \frac{1}{r} & - \frac{2 r}{r - 1} \\ \frac{1}{r - 1} & \frac{1}{r} & \frac{r}{r - 1} \end{array}]$