Lineare Algebra Beispiele

$9 x^{2} - 4 y^{2} = 36$

Schritt 1

Subtrahiere $9 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 y^{2} = 36 - 9 x^{2}$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y^{2} = 36 - 9 x^{2}$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y^{2} = 36 - 9 x^{2}$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 y^{2}}{- 4} = \frac{36}{- 4} + \frac{- 9 x^{2}}{- 4}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 y^{2}}{- 4} = \frac{36}{- 4} + \frac{- 9 x^{2}}{- 4}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{36}{- 4} + \frac{- 9 x^{2}}{- 4}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Dividiere $36$ durch $- 4$ .

$y^{2} = - 9 + \frac{- 9 x^{2}}{- 4}$

Schritt 2.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y^{2} = - 9 + \frac{9 x^{2}}{4}$

Schritt 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 9 + \frac{9 x^{2}}{4}}$

Schritt 4

Vereinfache $\pm \sqrt{- 9 + \frac{9 x^{2}}{4}}$ .

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Schritt 4.1

Schreibe $9 x^{2}$ als ${(3 x)}^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{- 9 + \frac{{(3 x)}^{2}}{4}}$

Schritt 4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{- 9 + \frac{{(3 x)}^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 4.3

Schreibe $\frac{{(3 x)}^{2}}{2^{2}}$ als ${(\frac{3 x}{2})}^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{- 9 + {(\frac{3 x}{2})}^{2}}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{- 3^{2} + {(\frac{3 x}{2})}^{2}}$

Schritt 4.4.2

Stelle $- 3^{2}$ und ${(\frac{3 x}{2})}^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{3 x}{2})}^{2} - 3^{2}}$

Schritt 4.5

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \frac{3 x}{2}$ und $b = 3$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{3 x}{2} + 3) (\frac{3 x}{2} - 3)}$

Schritt 4.6

Vereinfache.

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Schritt 4.6.1

Faktorisiere $3$ aus $\frac{3 x}{2} + 3$ heraus.

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Schritt 4.6.1.1

Faktorisiere $3$ aus $\frac{3 x}{2}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{(3 \frac{x}{2} + 3) (\frac{3 x}{2} - 3)}$

Schritt 4.6.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$y = \pm \sqrt{(3 \frac{x}{2} + 3 (1)) (\frac{3 x}{2} - 3)}$

Schritt 4.6.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 \frac{x}{2} + 3 (1)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) (\frac{3 x}{2} - 3)}$

Schritt 4.6.2

Faktorisiere $3$ aus $\frac{3 x}{2} - 3$ heraus.

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Schritt 4.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $\frac{3 x}{2}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) (3 \frac{x}{2} - 3)}$

Schritt 4.6.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) (3 \frac{x}{2} + 3 (- 1))}$

Schritt 4.6.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 \frac{x}{2} + 3 (- 1)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) (3 (\frac{x}{2} - 1))}$

$y = \pm \sqrt{3 (\frac{x}{2} + 1) \cdot 3 (\frac{x}{2} - 1)}$

Schritt 4.6.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$y = \pm \sqrt{9 (\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}$

Schritt 4.7

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{9 (\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}$

Schritt 4.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)}$

Schritt 4.9

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}$

Schritt 4.10

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}$

Schritt 4.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 4.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y = \pm \sqrt{9 \frac{x + 2}{2} \frac{x - 2}{2}}$

Schritt 4.13

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.13.1

Kombiniere $9$ und $\frac{x + 2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (x + 2)}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}$

Schritt 4.13.2

Mutltipliziere $\frac{9 (x + 2)}{2}$ mit $\frac{x - 2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}$

Schritt 4.13.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (x + 2) (x - 2)}{4}}$

Schritt 4.14

Schreibe $\frac{9 (x + 2) (x - 2)}{4}$ als ${(\frac{3}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ um.

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Schritt 4.14.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $3^{2}$ aus $9 (x + 2) (x - 2)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}$

Schritt 4.14.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}$

Schritt 4.14.3

Ordne den Bruch $\frac{3^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}$

Schritt 4.15

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{3}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}$

Schritt 4.16

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$y = \pm \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

$y = - \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

$y = \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

$y = - \frac{3 \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}$

Schritt 6

Setze den Radikanden in $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x + 2) (x - 2) \geq 0$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 7.2

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.2.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 7.3

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 7.3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 7.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 2) (x - 2) \geq 0$ wahr machen.

$x = - 2, 2$

Schritt 7.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

Schritt 7.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 7.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 7.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((- 4) + 2) ((- 4) - 2) \geq 0$

Schritt 7.6.1.3

Die linke Seite $12$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 7.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 7.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((0) + 2) ((0) - 2) \geq 0$

Schritt 7.6.2.3

Die linke Seite $- 4$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 7.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 7.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 7.6.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((4) + 2) ((4) - 2) \geq 0$

Schritt 7.6.3.3

Die linke Seite $12$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 7.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

$x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

Schritt 7.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 2$ oder $x \geq 2$

Schritt 8

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq - 2, x \geq 2}$

Schritt 9