Lineare Algebra Beispiele

$9 x^{4} + 10 y^{4} = 42$

Schritt 1

Subtrahiere $9 x^{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 y^{4} = 42 - 9 x^{4}$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $10 y^{4} = 42 - 9 x^{4}$ durch $10$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $10 y^{4} = 42 - 9 x^{4}$ durch $10$ .

$\frac{10 y^{4}}{10} = \frac{42}{10} + \frac{- 9 x^{4}}{10}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 y^{4}}{10} = \frac{42}{10} + \frac{- 9 x^{4}}{10}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $y^{4}$ durch $1$ .

$y^{4} = \frac{42}{10} + \frac{- 9 x^{4}}{10}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $42$ und $10$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $42$ heraus.

$y^{4} = \frac{2 (21)}{10} + \frac{- 9 x^{4}}{10}$

Schritt 2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$y^{4} = \frac{2 \cdot 21}{2 \cdot 5} + \frac{- 9 x^{4}}{10}$

Schritt 2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{4} = \frac{2 \cdot 21}{2 \cdot 5} + \frac{- 9 x^{4}}{10}$

Schritt 2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{4} = \frac{21}{5} + \frac{- 9 x^{4}}{10}$

Schritt 2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{4} = \frac{21}{5} - \frac{9 x^{4}}{10}$

Schritt 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{21}{5} - \frac{9 x^{4}}{10}}$

Schritt 4

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{\frac{21}{5} - \frac{9 x^{4}}{10}}$ .

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Schritt 4.1

Um $\frac{21}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{21}{5} \cdot \frac{2}{2} - \frac{9 x^{4}}{10}}$

Schritt 4.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $10$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $\frac{21}{5}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{21 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{9 x^{4}}{10}}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{21 \cdot 2}{10} - \frac{9 x^{4}}{10}}$

Schritt 4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{21 \cdot 2 - 9 x^{4}}{10}}$

Schritt 4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $3$ aus $21 \cdot 2 - 9 x^{4}$ heraus.

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Schritt 4.4.1.1

Faktorisiere $3$ aus $21 \cdot 2$ heraus.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{3 (7 \cdot 2) - 9 x^{4}}{10}}$

Schritt 4.4.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 9 x^{4}$ heraus.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{3 (7 \cdot 2) + 3 (- 3 x^{4})}{10}}$

Schritt 4.4.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (7 \cdot 2) + 3 (- 3 x^{4})$ heraus.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{3 (7 \cdot 2 - 3 x^{4})}{10}}$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{3 (14 - 3 x^{4})}{10}}$

Schritt 4.5

Schreibe $\sqrt[4]{\frac{3 (14 - 3 x^{4})}{10}}$ als $\frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})}}{\sqrt[4]{10}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})}}{\sqrt[4]{10}}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})}}{\sqrt[4]{10}}$ mit $\frac{{\sqrt[4]{10}}^{3}}{{\sqrt[4]{10}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})}}{\sqrt[4]{10}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{10}}^{3}}{{\sqrt[4]{10}}^{3}}$

Schritt 4.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.7.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})}}{\sqrt[4]{10}}$ mit $\frac{{\sqrt[4]{10}}^{3}}{{\sqrt[4]{10}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} {\sqrt[4]{10}}^{3}}{\sqrt[4]{10} {\sqrt[4]{10}}^{3}}$

Schritt 4.7.2

Potenziere $\sqrt[4]{10}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} {\sqrt[4]{10}}^{3}}{{\sqrt[4]{10}}^{1} {\sqrt[4]{10}}^{3}}$

Schritt 4.7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} {\sqrt[4]{10}}^{3}}{{\sqrt[4]{10}}^{1 + 3}}$

Schritt 4.7.4

Addiere $1$ und $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} {\sqrt[4]{10}}^{3}}{{\sqrt[4]{10}}^{4}}$

Schritt 4.7.5

Schreibe ${\sqrt[4]{10}}^{4}$ als $10$ um.

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Schritt 4.7.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{10}$ als $10^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} {\sqrt[4]{10}}^{3}}{{(10^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Schritt 4.7.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} {\sqrt[4]{10}}^{3}}{10^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Schritt 4.7.5.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $4$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} {\sqrt[4]{10}}^{3}}{10^{\frac{4}{4}}}$

Schritt 4.7.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.7.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} {\sqrt[4]{10}}^{3}}{10^{\frac{4}{4}}}$

Schritt 4.7.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} {\sqrt[4]{10}}^{3}}{10^{1}}$

Schritt 4.7.5.5

Berechne den Exponenten.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} {\sqrt[4]{10}}^{3}}{10}$

Schritt 4.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.8.1

Schreibe ${\sqrt[4]{10}}^{3}$ als $\sqrt[4]{10^{3}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} \sqrt[4]{10^{3}}}{10}$

Schritt 4.8.2

Potenziere $10$ mit $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4})} \sqrt[4]{1000}}{10}$

Schritt 4.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.9.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3 (14 - 3 x^{4}) \cdot 1000}}{10}$

Schritt 4.9.2

Mutltipliziere $1000$ mit $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{3000 (14 - 3 x^{4})}}{10}$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt[4]{3000 (14 - 3 x^{4})}}{10}$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt[4]{3000 (14 - 3 x^{4})}}{10}$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt[4]{3000 (14 - 3 x^{4})}}{10}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{3000 (14 - 3 x^{4})}}{10}$

$y = \frac{\sqrt[4]{3000 (14 - 3 x^{4})}}{10}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{3000 (14 - 3 x^{4})}}{10}$

Schritt 6

Setze den Radikanden in $\sqrt[4]{3000 (14 - 3 x^{4})}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3000 (14 - 3 x^{4}) \geq 0$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $3000 (14 - 3 x^{4}) \geq 0$ durch $3000$ und vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Teile jeden Ausdruck in $3000 (14 - 3 x^{4}) \geq 0$ durch $3000$ .

$\frac{3000 (14 - 3 x^{4})}{3000} \geq \frac{0}{3000}$

Schritt 7.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3000$ .

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Schritt 7.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3000 (14 - 3 x^{4})}{3000} \geq \frac{0}{3000}$

Schritt 7.1.2.1.2

Dividiere $14 - 3 x^{4}$ durch $1$ .

$14 - 3 x^{4} \geq \frac{0}{3000}$

Schritt 7.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.1.3.1

Dividiere $0$ durch $3000$ .

$14 - 3 x^{4} \geq 0$

Schritt 7.2

Subtrahiere $14$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 3 x^{4} \geq - 14$

Schritt 7.3

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x^{4} \geq - 14$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Teile jeden Term in $- 3 x^{4} \geq - 14$ durch $- 3$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 3 x^{4}}{- 3} \leq \frac{- 14}{- 3}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 7.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x^{4}}{- 3} \leq \frac{- 14}{- 3}$

Schritt 7.3.2.1.2

Dividiere $x^{4}$ durch $1$ .

$x^{4} \leq \frac{- 14}{- 3}$

Schritt 7.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x^{4} \leq \frac{14}{3}$

Schritt 7.4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[4]{x^{4}} \leq \sqrt[4]{\frac{14}{3}}$

Schritt 7.5

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 7.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.5.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq \sqrt[4]{\frac{14}{3}}$

Schritt 7.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.5.2.1

Vereinfache $\sqrt[4]{\frac{14}{3}}$ .

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Schritt 7.5.2.1.1

Schreibe $\sqrt[4]{\frac{14}{3}}$ als $\frac{\sqrt[4]{14}}{\sqrt[4]{3}}$ um.

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14}}{\sqrt[4]{3}}$

Schritt 7.5.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[4]{14}}{\sqrt[4]{3}}$ mit $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14}}{\sqrt[4]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Schritt 7.5.2.1.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.5.2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[4]{14}}{\sqrt[4]{3}}$ mit $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{\sqrt[4]{3} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Schritt 7.5.2.1.3.2

Potenziere $\sqrt[4]{3}$ mit $1$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Schritt 7.5.2.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1 + 3}}$

Schritt 7.5.2.1.3.4

Addiere $1$ und $3$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{4}}$

Schritt 7.5.2.1.3.5

Schreibe ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ als $3$ um.

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Schritt 7.5.2.1.3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{3}$ als $3^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Schritt 7.5.2.1.3.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Schritt 7.5.2.1.3.5.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $4$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Schritt 7.5.2.1.3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 7.5.2.1.3.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Schritt 7.5.2.1.3.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{1}}$

Schritt 7.5.2.1.3.5.5

Berechne den Exponenten.

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3}$

Schritt 7.5.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.5.2.1.4.1

Schreibe ${\sqrt[4]{3}}^{3}$ als $\sqrt[4]{3^{3}}$ um.

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} \sqrt[4]{3^{3}}}{3}$

Schritt 7.5.2.1.4.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14} \sqrt[4]{27}}{3}$

Schritt 7.5.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.5.2.1.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{14 \cdot 27}}{3}$

Schritt 7.5.2.1.5.2

Mutltipliziere $14$ mit $27$ .

$| x | \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$

Schritt 7.6

Schreibe $| x | \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 7.6.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 7.6.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$

Schritt 7.6.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 7.6.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$

Schritt 7.6.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3} & x \geq 0 \\ - x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3} & x < 0 \end{cases}$

Schritt 7.7

Bestimme die Schnittmenge von $x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$ und $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$

Schritt 7.8

Löse $- x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$ , wenn $x < 0$ ergibt.

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Schritt 7.8.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.8.1.1

Teile jeden Term in $- x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\frac{\sqrt[4]{378}}{3}}{- 1}$

Schritt 7.8.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.8.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\frac{\sqrt[4]{378}}{3}}{- 1}$

Schritt 7.8.1.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{\frac{\sqrt[4]{378}}{3}}{- 1}$

Schritt 7.8.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.8.1.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{\sqrt[4]{378}}{3}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$

Schritt 7.8.1.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$ als $- \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$ um.

$x \geq - \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$

Schritt 7.8.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq - \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$ und $x < 0$ .

$- \frac{\sqrt[4]{378}}{3} \leq x < 0$

Schritt 7.9

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- \frac{\sqrt[4]{378}}{3} \leq x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}$

Schritt 8

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- \frac{\sqrt[4]{378}}{3}, \frac{\sqrt[4]{378}}{3}]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - \frac{\sqrt[4]{378}}{3} \leq x \leq \frac{\sqrt[4]{378}}{3}}$

Schritt 9