Lineare Algebra Beispiele

$3 x^{2} + n x + 5 = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte $a = 3$ , $b = n$ und $c = 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 5)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 5$ .

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 12 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $5$ .

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 60}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.1

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 5$ .

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 12 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $5$ .

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 60}}{2 \cdot 3}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

Schritt 4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- n + \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

Schritt 4.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- n$ heraus.

$x = \frac{- (n) + \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

Schritt 4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{n^{2} - 60}$ heraus.

$x = \frac{- (n) - 1 (- \sqrt{n^{2} - 60})}{6}$

Schritt 4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (n) - 1 (- \sqrt{n^{2} - 60})$ heraus.

$x = \frac{- (n - \sqrt{n^{2} - 60})}{6}$

Schritt 4.7

Schreibe $- (n - \sqrt{n^{2} - 60})$ als $- 1 (n - \sqrt{n^{2} - 60})$ um.

$x = \frac{- 1 (n - \sqrt{n^{2} - 60})}{6}$

Schritt 4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{n - \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot 5$ .

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 12 \cdot 5}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $5$ .

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 60}}{2 \cdot 3}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{- n \pm \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

Schritt 5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- n - \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- n$ heraus.

$x = \frac{- (n) - \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

Schritt 5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{n^{2} - 60}$ heraus.

$x = \frac{- (n) - (\sqrt{n^{2} - 60})}{6}$

Schritt 5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (n) - (\sqrt{n^{2} - 60})$ heraus.

$x = \frac{- (n + \sqrt{n^{2} - 60})}{6}$

Schritt 5.7

Schreibe $- (n + \sqrt{n^{2} - 60})$ als $- 1 (n + \sqrt{n^{2} - 60})$ um.

$x = \frac{- 1 (n + \sqrt{n^{2} - 60})}{6}$

Schritt 5.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{n + \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{n - \sqrt{n^{2} - 60}}{6}, - \frac{n + \sqrt{n^{2} - 60}}{6}$

Schritt 7

Setze den Radikanden in $\sqrt{n^{2} - 60}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$n^{2} - 60 \geq 0$

Schritt 8

Löse nach $n$ auf.

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Schritt 8.1

Addiere $60$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$n^{2} \geq 60$

Schritt 8.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{n^{2}} \geq \sqrt{60}$

Schritt 8.3

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| n | \geq \sqrt{60}$

Schritt 8.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.2.1

Vereinfache $\sqrt{60}$ .

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Schritt 8.3.2.1.1

Schreibe $60$ als $2^{2} \cdot 15$ um.

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Schritt 8.3.2.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $60$ heraus.

$| n | \geq \sqrt{4 (15)}$

Schritt 8.3.2.1.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$| n | \geq \sqrt{2^{2} \cdot 15}$

Schritt 8.3.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| n | \geq | 2 | \sqrt{15}$

Schritt 8.3.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$| n | \geq 2 \sqrt{15}$

Schritt 8.4

Schreibe $| n | \geq 2 \sqrt{15}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 8.4.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$n \geq 0$

Schritt 8.4.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $n$ nicht negativ ist.

$n \geq 2 \sqrt{15}$

Schritt 8.4.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$n < 0$

Schritt 8.4.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $n$ negativ ist.

$- n \geq 2 \sqrt{15}$

Schritt 8.4.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} n \geq 2 \sqrt{15} & n \geq 0 \\ - n \geq 2 \sqrt{15} & n < 0 \end{cases}$

Schritt 8.5

Bestimme die Schnittmenge von $n \geq 2 \sqrt{15}$ und $n \geq 0$ .

$n \geq 2 \sqrt{15}$

Schritt 8.6

Teile jeden Ausdruck in $- n \geq 2 \sqrt{15}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 8.6.1

Teile jeden Term in $- n \geq 2 \sqrt{15}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- n}{- 1} \leq \frac{2 \sqrt{15}}{- 1}$

Schritt 8.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.6.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{n}{1} \leq \frac{2 \sqrt{15}}{- 1}$

Schritt 8.6.2.2

Dividiere $n$ durch $1$ .

$n \leq \frac{2 \sqrt{15}}{- 1}$

Schritt 8.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.6.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 \sqrt{15}}{- 1}$ .

$n \leq - 1 \cdot (2 \sqrt{15})$

Schritt 8.6.3.2

Schreibe $- 1 \cdot (2 \sqrt{15})$ als $- (2 \sqrt{15})$ um.

$n \leq - (2 \sqrt{15})$

Schritt 8.6.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$n \leq - 2 \sqrt{15}$

Schritt 8.7

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$n \leq - 2 \sqrt{15}$ oder $n \geq 2 \sqrt{15}$

Schritt 9

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $n$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 2 \sqrt{15}] \cup [2 \sqrt{15}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${n | n \leq - 2 \sqrt{15}, n \geq 2 \sqrt{15}}$

Schritt 10