Lineare Algebra Beispiele

$4 x \sqrt{2 x \sqrt[3]{3 x}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{2 x \sqrt[3]{3 x}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x \sqrt[3]{3 x} \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

To remove the radical on the left side of the inequality, cube both sides of the inequality.

${(2 x \sqrt[3]{3 x})}^{3} \geq 0^{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{3 x}$ als ${(3 x)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(2 x {(3 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache ${(2 x {(3 x)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

${(2 x (3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}))}^{3} \geq 0^{3}$

Schritt 2.2.2.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x \cdot x^{\frac{1}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Schritt 2.2.2.1.3

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.2.1.3.1

Bewege $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} x))}^{3} \geq 0^{3}$

Schritt 2.2.2.1.3.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{3}}$ mit $x$ .

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Schritt 2.2.2.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} x^{1}))}^{3} \geq 0^{3}$

Schritt 2.2.2.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3} + 1})}^{3} \geq 0^{3}$

Schritt 2.2.2.1.3.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Schritt 2.2.2.1.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1 + 3}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Schritt 2.2.2.1.3.5

Addiere $1$ und $3$ .

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Schritt 2.2.2.1.4

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.2.2.1.4.1

Wende die Produktregel auf $2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{4}{3}}$ an.

${(2 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}^{3} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Schritt 2.2.2.1.4.2

Wende die Produktregel auf $2 \cdot 3^{\frac{1}{3}}$ an.

$2^{3} \cdot {(3^{\frac{1}{3}})}^{3} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Schritt 2.2.2.1.5

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 \cdot {(3^{\frac{1}{3}})}^{3} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Schritt 2.2.2.1.6

Multipliziere die Exponenten in ${(3^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.2.2.1.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \cdot 3^{\frac{1}{3} \cdot 3} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Schritt 2.2.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.2.1.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 \cdot 3^{\frac{1}{3} \cdot 3} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Schritt 2.2.2.1.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$8 \cdot 3^{1} {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Schritt 2.2.2.1.7

Berechne den Exponenten.

$8 \cdot 3 {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Schritt 2.2.2.1.8

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$24 {(x^{\frac{4}{3}})}^{3} \geq 0^{3}$

Schritt 2.2.2.1.9

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{4}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.2.2.1.9.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$24 x^{\frac{4}{3} \cdot 3} \geq 0^{3}$

Schritt 2.2.2.1.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.2.1.9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$24 x^{\frac{4}{3} \cdot 3} \geq 0^{3}$

Schritt 2.2.2.1.9.2.2

Forme den Ausdruck um.

$24 x^{4} \geq 0^{3}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$24 x^{4} \geq 0$

Schritt 2.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $24 x^{4} \geq 0$ durch $24$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $24 x^{4} \geq 0$ durch $24$ .

$\frac{24 x^{4}}{24} \geq \frac{0}{24}$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $24$ .

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Schritt 2.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{24 x^{4}}{24} \geq \frac{0}{24}$

Schritt 2.3.1.2.1.2

Dividiere $x^{4}$ durch $1$ .

$x^{4} \geq \frac{0}{24}$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $24$ .

$x^{4} \geq 0$

Schritt 2.3.2

Da die linke Seite eine gerade Potenz aufweist, ist sie immer positiv für alle reellen Zahlen.

Alle reellen Zahlen

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 4