Lineare Algebra Beispiele

$5 x^{2 y} = 30$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $5 x^{2 y} = 30$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x^{2 y} = 30$ durch $5$ .

$\frac{5 x^{2 y}}{5} = \frac{30}{5}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x^{2 y}}{5} = \frac{30}{5}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $x^{2 y}$ durch $1$ .

$x^{2 y} = \frac{30}{5}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Dividiere $30$ durch $5$ .

$x^{2 y} = 6$

Schritt 2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (x^{2 y}) = \ln (6)$

Schritt 3

Zerlege $\ln (x^{2 y})$ durch Herausziehen von $2 y$ aus dem Logarithmus.

$2 y \ln (x) = \ln (6)$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $2 y \ln (x) = \ln (6)$ durch $2 \ln (x)$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y \ln (x) = \ln (6)$ durch $2 \ln (x)$ .

$\frac{2 y \ln (x)}{2 \ln (x)} = \frac{\ln (6)}{2 \ln (x)}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y \ln (x)}{2 \ln (x)} = \frac{\ln (6)}{2 \ln (x)}$

Schritt 4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{\ln (6)}{2 \ln (x)}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (x)$ .

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{\ln (6)}{2 \ln (x)}$

Schritt 4.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (6)}{2 \ln (x)}$

Schritt 5

Setze das Argument in $\ln (x)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x > 0$

Schritt 6

Setze den Nenner in $\frac{\ln (6)}{2 \ln (x)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 \ln (x) = 0$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \ln (x) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \ln (x) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 7.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \ln (x)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 7.1.2.1.2

Dividiere $\ln (x)$ durch $1$ .

$\ln (x) = \frac{0}{2}$

Schritt 7.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.1.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$\ln (x) = 0$

Schritt 7.2

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x)} = e^{0}$

Schritt 7.3

Schreibe $\ln (x) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{0} = x$

Schritt 7.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.4.1

Schreibe die Gleichung als $x = e^{0}$ um.

$x = e^{0}$

Schritt 7.4.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x = 1$

Schritt 8

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(0, 1) \cup (1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > 0, x \neq 1}$

Schritt 9