Lineare Algebra Beispiele

$5 a^{2} + 3 b^{2} + 3 d^{2} + 2 a b + 2 a d + 6 b d = 7 g^{2} + 4 h^{2}$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $7 g^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 a^{2} + 3 b^{2} + 3 d^{2} + 2 a b + 2 a d + 6 b d - 7 g^{2} = 4 h^{2}$

Schritt 1.2

Subtrahiere $4 h^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 a^{2} + 3 b^{2} + 3 d^{2} + 2 a b + 2 a d + 6 b d - 7 g^{2} - 4 h^{2} = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 5$ , $b = 2 b + 2 d$ und $c = 3 b^{2} + 3 d^{2} + 6 b d - 7 g^{2} - 4 h^{2}$ in die Quadratformel ein und löse nach $a$ auf.

$\frac{- (2 b + 2 d) \pm \sqrt{{(2 b + 2 d)}^{2} - 4 \cdot (5 \cdot (3 b^{2} + 3 d^{2} + 6 b d - 7 g^{2} - 4 h^{2}))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{- (2 b) - (2 d) \pm \sqrt{{(2 b + 2 d)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (3 b^{2} + 3 d^{2} + 6 b d - 7 g^{2} - 4 h^{2})}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$a = \frac{- 2 b - (2 d) \pm \sqrt{{(2 b + 2 d)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (3 b^{2} + 3 d^{2} + 6 b d - 7 g^{2} - 4 h^{2})}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{{(2 b + 2 d)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (3 b^{2} + 3 d^{2} + 6 b d - 7 g^{2} - 4 h^{2})}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.4

Füge Klammern hinzu.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{{(2 b + 2 d)}^{2} - 4 \cdot (5 \cdot (3 b^{2} + 3 d^{2} + 6 (b d) - 7 g^{2} - 4 h^{2}))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.5

Es sei $u = 5 \cdot (3 b^{2} + 3 d^{2} + 6 (b d) - 7 g^{2} - 4 h^{2})$ . Ersetze $u$ für alle $5 \cdot (3 b^{2} + 3 d^{2} + 6 (b d) - 7 g^{2} - 4 h^{2})$ .

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Schritt 4.1.5.1

Schreibe ${(2 b + 2 d)}^{2}$ als $(2 b + 2 d) (2 b + 2 d)$ um.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{(2 b + 2 d) (2 b + 2 d) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.5.2

Multipliziere $(2 b + 2 d) (2 b + 2 d)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{2 b (2 b + 2 d) + 2 d (2 b + 2 d) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{2 b (2 b) + 2 b (2 d) + 2 d (2 b + 2 d) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{2 b (2 b) + 2 b (2 d) + 2 d (2 b) + 2 d (2 d) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{2 \cdot (2 b \cdot b) + 2 b (2 d) + 2 d (2 b) + 2 d (2 d) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.5.3.1.2

Multipliziere $b$ mit $b$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.5.3.1.2.1

Bewege $b$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{2 \cdot (2 (b \cdot b)) + 2 b (2 d) + 2 d (2 b) + 2 d (2 d) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.5.3.1.2.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{2 \cdot (2 b^{2}) + 2 b (2 d) + 2 d (2 b) + 2 d (2 d) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.5.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 b^{2} + 2 b (2 d) + 2 d (2 b) + 2 d (2 d) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.5.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 b^{2} + 2 \cdot (2 b d) + 2 d (2 b) + 2 d (2 d) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.5.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 b^{2} + 4 b d + 2 d (2 b) + 2 d (2 d) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.5.3.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 b^{2} + 4 b d + 2 \cdot (2 d b) + 2 d (2 d) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.5.3.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 b^{2} + 4 b d + 4 d b + 2 d (2 d) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.5.3.1.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 b^{2} + 4 b d + 4 d b + 2 \cdot (2 d \cdot d) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.5.3.1.9

Multipliziere $d$ mit $d$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.5.3.1.9.1

Bewege $d$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 b^{2} + 4 b d + 4 d b + 2 \cdot (2 (d \cdot d)) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.5.3.1.9.2

Mutltipliziere $d$ mit $d$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 b^{2} + 4 b d + 4 d b + 2 \cdot (2 d^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.5.3.1.10

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 b^{2} + 4 b d + 4 d b + 4 d^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.5.3.2

Addiere $4 b d$ und $4 d b$ .

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Schritt 4.1.5.3.2.1

Bewege $d$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 b^{2} + 4 b d + 4 b d + 4 d^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.5.3.2.2

Addiere $4 b d$ und $4 b d$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 b^{2} + 8 b d + 4 d^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 b^{2} + 8 b d + 4 d^{2} - 4 u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.6

Faktorisiere $4$ aus $4 b^{2} + 8 b d + 4 d^{2} - 4 u$ heraus.

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Schritt 4.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $4 b^{2}$ heraus.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2}) + 8 b d + 4 d^{2} - 4 u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.6.2

Faktorisiere $4$ aus $8 b d$ heraus.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2}) + 4 (2 b d) + 4 d^{2} - 4 u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.6.3

Faktorisiere $4$ aus $4 d^{2}$ heraus.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2}) + 4 (2 b d) + 4 (d^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.6.4

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2}) + 4 (2 b d) + 4 (d^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.6.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (b^{2}) + 4 (2 b d)$ heraus.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d) + 4 (d^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.6.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (b^{2} + 2 b d) + 4 (d^{2})$ heraus.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.6.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (b^{2} + 2 b d + d^{2}) + 4 (- u)$ heraus.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - u)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.7

Ersetze alle $u$ durch $5 \cdot (3 b^{2} + 3 d^{2} + 6 (b d) - 7 g^{2} - 4 h^{2})$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - (5 \cdot (3 b^{2} + 3 d^{2} + 6 (b d) - 7 g^{2} - 4 h^{2})))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.8

Vereinfache.

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Schritt 4.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.8.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - (5 (3 b^{2}) + 5 (3 d^{2}) + 5 (6 b d) + 5 (- 7 g^{2}) + 5 (- 4 h^{2})))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.8.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.8.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - (15 b^{2} + 5 (3 d^{2}) + 5 (6 b d) + 5 (- 7 g^{2}) + 5 (- 4 h^{2})))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.8.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - (15 b^{2} + 15 d^{2} + 5 (6 b d) + 5 (- 7 g^{2}) + 5 (- 4 h^{2})))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.8.1.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - (15 b^{2} + 15 d^{2} + 30 (b d) + 5 (- 7 g^{2}) + 5 (- 4 h^{2})))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.8.1.2.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $5$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - (15 b^{2} + 15 d^{2} + 30 (b d) - 35 g^{2} + 5 (- 4 h^{2})))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.8.1.2.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - (15 b^{2} + 15 d^{2} + 30 (b d) - 35 g^{2} - 20 h^{2}))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - (15 b^{2}) - (15 d^{2}) - (30 b d) - (- 35 g^{2}) - (- 20 h^{2}))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.8.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.8.1.4.1

Mutltipliziere $15$ mit $- 1$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - 15 b^{2} - (15 d^{2}) - (30 b d) - (- 35 g^{2}) - (- 20 h^{2}))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.8.1.4.2

Mutltipliziere $15$ mit $- 1$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - 15 b^{2} - 15 d^{2} - (30 b d) - (- 35 g^{2}) - (- 20 h^{2}))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.8.1.4.3

Mutltipliziere $30$ mit $- 1$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - 15 b^{2} - 15 d^{2} - 30 (b d) - (- 35 g^{2}) - (- 20 h^{2}))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.8.1.4.4

Mutltipliziere $- 35$ mit $- 1$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - 15 b^{2} - 15 d^{2} - 30 (b d) + 35 g^{2} - (- 20 h^{2}))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.8.1.4.5

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 1$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - 15 b^{2} - 15 d^{2} - 30 (b d) + 35 g^{2} + 20 h^{2})}}{2 \cdot 5}$

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - 15 b^{2} - 15 d^{2} - 30 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2})}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.8.2

Subtrahiere $15 b^{2}$ von $b^{2}$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (- 14 b^{2} + 2 b d + d^{2} - 15 d^{2} - 30 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2})}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.8.3

Subtrahiere $30 b d$ von $2 b d$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (- 14 b^{2} + d^{2} - 15 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2})}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.8.4

Subtrahiere $15 d^{2}$ von $d^{2}$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2})}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.9

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{2^{2} (- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2})}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.1.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm 2 \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm 2 \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}}}{10}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{- (2 b) - (2 d) \pm \sqrt{{(2 b + 2 d)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (3 b^{2} + 3 d^{2} + 6 b d - 7 g^{2} - 4 h^{2})}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$a = \frac{- 2 b - (2 d) \pm \sqrt{{(2 b + 2 d)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (3 b^{2} + 3 d^{2} + 6 b d - 7 g^{2} - 4 h^{2})}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{{(2 b + 2 d)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (3 b^{2} + 3 d^{2} + 6 b d - 7 g^{2} - 4 h^{2})}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.4

Füge Klammern hinzu.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{{(2 b + 2 d)}^{2} - 4 \cdot (5 \cdot (3 b^{2} + 3 d^{2} + 6 (b d) - 7 g^{2} - 4 h^{2}))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.5

Es sei $u = 5 \cdot (3 b^{2} + 3 d^{2} + 6 (b d) - 7 g^{2} - 4 h^{2})$ . Ersetze $u$ für alle $5 \cdot (3 b^{2} + 3 d^{2} + 6 (b d) - 7 g^{2} - 4 h^{2})$ .

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Schritt 5.1.5.1

Schreibe ${(2 b + 2 d)}^{2}$ als $(2 b + 2 d) (2 b + 2 d)$ um.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{(2 b + 2 d) (2 b + 2 d) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.5.2

Multipliziere $(2 b + 2 d) (2 b + 2 d)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{2 b (2 b + 2 d) + 2 d (2 b + 2 d) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{2 b (2 b) + 2 b (2 d) + 2 d (2 b + 2 d) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{2 b (2 b) + 2 b (2 d) + 2 d (2 b) + 2 d (2 d) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.1.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{2 \cdot (2 b \cdot b) + 2 b (2 d) + 2 d (2 b) + 2 d (2 d) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.5.3.1.2

Multipliziere $b$ mit $b$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.5.3.1.2.1

Bewege $b$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{2 \cdot (2 (b \cdot b)) + 2 b (2 d) + 2 d (2 b) + 2 d (2 d) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.5.3.1.2.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{2 \cdot (2 b^{2}) + 2 b (2 d) + 2 d (2 b) + 2 d (2 d) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.5.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 b^{2} + 2 b (2 d) + 2 d (2 b) + 2 d (2 d) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.5.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 b^{2} + 2 \cdot (2 b d) + 2 d (2 b) + 2 d (2 d) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.5.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 b^{2} + 4 b d + 2 d (2 b) + 2 d (2 d) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.5.3.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 b^{2} + 4 b d + 2 \cdot (2 d b) + 2 d (2 d) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.5.3.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 b^{2} + 4 b d + 4 d b + 2 d (2 d) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.5.3.1.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 b^{2} + 4 b d + 4 d b + 2 \cdot (2 d \cdot d) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.5.3.1.9

Multipliziere $d$ mit $d$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.5.3.1.9.1

Bewege $d$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 b^{2} + 4 b d + 4 d b + 2 \cdot (2 (d \cdot d)) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.5.3.1.9.2

Mutltipliziere $d$ mit $d$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 b^{2} + 4 b d + 4 d b + 2 \cdot (2 d^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.5.3.1.10

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 b^{2} + 4 b d + 4 d b + 4 d^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.5.3.2

Addiere $4 b d$ und $4 d b$ .

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Schritt 5.1.5.3.2.1

Bewege $d$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 b^{2} + 4 b d + 4 b d + 4 d^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.5.3.2.2

Addiere $4 b d$ und $4 b d$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 b^{2} + 8 b d + 4 d^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 b^{2} + 8 b d + 4 d^{2} - 4 u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.6

Faktorisiere $4$ aus $4 b^{2} + 8 b d + 4 d^{2} - 4 u$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $4 b^{2}$ heraus.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2}) + 8 b d + 4 d^{2} - 4 u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.6.2

Faktorisiere $4$ aus $8 b d$ heraus.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2}) + 4 (2 b d) + 4 d^{2} - 4 u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.6.3

Faktorisiere $4$ aus $4 d^{2}$ heraus.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2}) + 4 (2 b d) + 4 (d^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.6.4

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2}) + 4 (2 b d) + 4 (d^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.6.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (b^{2}) + 4 (2 b d)$ heraus.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d) + 4 (d^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.6.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (b^{2} + 2 b d) + 4 (d^{2})$ heraus.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.6.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (b^{2} + 2 b d + d^{2}) + 4 (- u)$ heraus.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - u)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.7

Ersetze alle $u$ durch $5 \cdot (3 b^{2} + 3 d^{2} + 6 (b d) - 7 g^{2} - 4 h^{2})$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - (5 \cdot (3 b^{2} + 3 d^{2} + 6 (b d) - 7 g^{2} - 4 h^{2})))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.8.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - (5 (3 b^{2}) + 5 (3 d^{2}) + 5 (6 b d) + 5 (- 7 g^{2}) + 5 (- 4 h^{2})))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.8.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.8.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - (15 b^{2} + 5 (3 d^{2}) + 5 (6 b d) + 5 (- 7 g^{2}) + 5 (- 4 h^{2})))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.8.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - (15 b^{2} + 15 d^{2} + 5 (6 b d) + 5 (- 7 g^{2}) + 5 (- 4 h^{2})))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.8.1.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - (15 b^{2} + 15 d^{2} + 30 (b d) + 5 (- 7 g^{2}) + 5 (- 4 h^{2})))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.8.1.2.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $5$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - (15 b^{2} + 15 d^{2} + 30 (b d) - 35 g^{2} + 5 (- 4 h^{2})))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.8.1.2.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - (15 b^{2} + 15 d^{2} + 30 (b d) - 35 g^{2} - 20 h^{2}))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - (15 b^{2}) - (15 d^{2}) - (30 b d) - (- 35 g^{2}) - (- 20 h^{2}))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.8.1.4

Vereinfache.

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Schritt 5.1.8.1.4.1

Mutltipliziere $15$ mit $- 1$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - 15 b^{2} - (15 d^{2}) - (30 b d) - (- 35 g^{2}) - (- 20 h^{2}))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.8.1.4.2

Mutltipliziere $15$ mit $- 1$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - 15 b^{2} - 15 d^{2} - (30 b d) - (- 35 g^{2}) - (- 20 h^{2}))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.8.1.4.3

Mutltipliziere $30$ mit $- 1$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - 15 b^{2} - 15 d^{2} - 30 (b d) - (- 35 g^{2}) - (- 20 h^{2}))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.8.1.4.4

Mutltipliziere $- 35$ mit $- 1$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - 15 b^{2} - 15 d^{2} - 30 (b d) + 35 g^{2} - (- 20 h^{2}))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.8.1.4.5

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 1$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - 15 b^{2} - 15 d^{2} - 30 (b d) + 35 g^{2} + 20 h^{2})}}{2 \cdot 5}$

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - 15 b^{2} - 15 d^{2} - 30 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2})}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.8.2

Subtrahiere $15 b^{2}$ von $b^{2}$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (- 14 b^{2} + 2 b d + d^{2} - 15 d^{2} - 30 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2})}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.8.3

Subtrahiere $30 b d$ von $2 b d$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (- 14 b^{2} + d^{2} - 15 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2})}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.8.4

Subtrahiere $15 d^{2}$ von $d^{2}$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2})}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.9

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{2^{2} (- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2})}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.1.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm 2 \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}}}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm 2 \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}}}{10}$

Schritt 5.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d + 2 \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}}}{10}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2 b - 2 d + 2 \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}}$ und $10$ .

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 b$ heraus.

$a = \frac{2 (- b) - 2 d + 2 \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}}}{10}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 d$ heraus.

$a = \frac{2 (- b) + 2 (- d) + 2 \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}}}{10}$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- b) + 2 (- d)$ heraus.

$a = \frac{2 (- b - d) + 2 \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}}}{10}$

Schritt 5.4.4

Faktorisiere $2$ aus $2 \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}}$ heraus.

$a = \frac{2 (- b - d) + 2 (\sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}})}{10}$

Schritt 5.4.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (- b - d) + 2 (\sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}})$ heraus.

$a = \frac{2 (- b - d + \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}})}{10}$

Schritt 5.4.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.4.6.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$a = \frac{2 (- b - d + \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}})}{2 (5)}$

Schritt 5.4.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = \frac{2 (- b - d + \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}})}{2 \cdot 5}$

Schritt 5.4.6.3

Forme den Ausdruck um.

$a = \frac{- b - d + \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}}}{5}$

Schritt 5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- b$ heraus.

$a = \frac{- (b) - d + \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}}}{5}$

Schritt 5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- d$ heraus.

$a = \frac{- (b) - (d) + \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}}}{5}$

Schritt 5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (b) - (d)$ heraus.

$a = \frac{- (b + d) + \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}}}{5}$

Schritt 5.8

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}}$ heraus.

$a = \frac{- (b + d) - 1 (- \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}})}{5}$

Schritt 5.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (b + d) - 1 (- \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}})$ heraus.

$a = \frac{- (b + d - \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}})}{5}$

Schritt 5.10

Schreibe $- (b + d - \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}})$ als $- 1 (b + d - \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}})$ um.

$a = \frac{- 1 (b + d - \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}})}{5}$

Schritt 5.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a = - \frac{b + d - \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}}}{5}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{- (2 b) - (2 d) \pm \sqrt{{(2 b + 2 d)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (3 b^{2} + 3 d^{2} + 6 b d - 7 g^{2} - 4 h^{2})}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$a = \frac{- 2 b - (2 d) \pm \sqrt{{(2 b + 2 d)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (3 b^{2} + 3 d^{2} + 6 b d - 7 g^{2} - 4 h^{2})}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{{(2 b + 2 d)}^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (3 b^{2} + 3 d^{2} + 6 b d - 7 g^{2} - 4 h^{2})}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.4

Füge Klammern hinzu.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{{(2 b + 2 d)}^{2} - 4 \cdot (5 \cdot (3 b^{2} + 3 d^{2} + 6 (b d) - 7 g^{2} - 4 h^{2}))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.5

Es sei $u = 5 \cdot (3 b^{2} + 3 d^{2} + 6 (b d) - 7 g^{2} - 4 h^{2})$ . Ersetze $u$ für alle $5 \cdot (3 b^{2} + 3 d^{2} + 6 (b d) - 7 g^{2} - 4 h^{2})$ .

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Schritt 6.1.5.1

Schreibe ${(2 b + 2 d)}^{2}$ als $(2 b + 2 d) (2 b + 2 d)$ um.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{(2 b + 2 d) (2 b + 2 d) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.5.2

Multipliziere $(2 b + 2 d) (2 b + 2 d)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{2 b (2 b + 2 d) + 2 d (2 b + 2 d) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{2 b (2 b) + 2 b (2 d) + 2 d (2 b + 2 d) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{2 b (2 b) + 2 b (2 d) + 2 d (2 b) + 2 d (2 d) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.1.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.5.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{2 \cdot (2 b \cdot b) + 2 b (2 d) + 2 d (2 b) + 2 d (2 d) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.5.3.1.2

Multipliziere $b$ mit $b$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.5.3.1.2.1

Bewege $b$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{2 \cdot (2 (b \cdot b)) + 2 b (2 d) + 2 d (2 b) + 2 d (2 d) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.5.3.1.2.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{2 \cdot (2 b^{2}) + 2 b (2 d) + 2 d (2 b) + 2 d (2 d) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.5.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 b^{2} + 2 b (2 d) + 2 d (2 b) + 2 d (2 d) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.5.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 b^{2} + 2 \cdot (2 b d) + 2 d (2 b) + 2 d (2 d) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.5.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 b^{2} + 4 b d + 2 d (2 b) + 2 d (2 d) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.5.3.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 b^{2} + 4 b d + 2 \cdot (2 d b) + 2 d (2 d) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.5.3.1.7

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 b^{2} + 4 b d + 4 d b + 2 d (2 d) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.5.3.1.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 b^{2} + 4 b d + 4 d b + 2 \cdot (2 d \cdot d) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.5.3.1.9

Multipliziere $d$ mit $d$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.5.3.1.9.1

Bewege $d$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 b^{2} + 4 b d + 4 d b + 2 \cdot (2 (d \cdot d)) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.5.3.1.9.2

Mutltipliziere $d$ mit $d$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 b^{2} + 4 b d + 4 d b + 2 \cdot (2 d^{2}) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.5.3.1.10

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 b^{2} + 4 b d + 4 d b + 4 d^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.5.3.2

Addiere $4 b d$ und $4 d b$ .

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Schritt 6.1.5.3.2.1

Bewege $d$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 b^{2} + 4 b d + 4 b d + 4 d^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.5.3.2.2

Addiere $4 b d$ und $4 b d$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 b^{2} + 8 b d + 4 d^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 5}$

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 b^{2} + 8 b d + 4 d^{2} - 4 u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.6

Faktorisiere $4$ aus $4 b^{2} + 8 b d + 4 d^{2} - 4 u$ heraus.

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Schritt 6.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $4 b^{2}$ heraus.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2}) + 8 b d + 4 d^{2} - 4 u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.6.2

Faktorisiere $4$ aus $8 b d$ heraus.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2}) + 4 (2 b d) + 4 d^{2} - 4 u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.6.3

Faktorisiere $4$ aus $4 d^{2}$ heraus.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2}) + 4 (2 b d) + 4 (d^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.6.4

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2}) + 4 (2 b d) + 4 (d^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.6.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (b^{2}) + 4 (2 b d)$ heraus.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d) + 4 (d^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.6.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (b^{2} + 2 b d) + 4 (d^{2})$ heraus.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.6.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (b^{2} + 2 b d + d^{2}) + 4 (- u)$ heraus.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - u)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.7

Ersetze alle $u$ durch $5 \cdot (3 b^{2} + 3 d^{2} + 6 (b d) - 7 g^{2} - 4 h^{2})$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - (5 \cdot (3 b^{2} + 3 d^{2} + 6 (b d) - 7 g^{2} - 4 h^{2})))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.8

Vereinfache.

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Schritt 6.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.8.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - (5 (3 b^{2}) + 5 (3 d^{2}) + 5 (6 b d) + 5 (- 7 g^{2}) + 5 (- 4 h^{2})))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.8.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.8.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - (15 b^{2} + 5 (3 d^{2}) + 5 (6 b d) + 5 (- 7 g^{2}) + 5 (- 4 h^{2})))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.8.1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - (15 b^{2} + 15 d^{2} + 5 (6 b d) + 5 (- 7 g^{2}) + 5 (- 4 h^{2})))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.8.1.2.3

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - (15 b^{2} + 15 d^{2} + 30 (b d) + 5 (- 7 g^{2}) + 5 (- 4 h^{2})))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.8.1.2.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $5$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - (15 b^{2} + 15 d^{2} + 30 (b d) - 35 g^{2} + 5 (- 4 h^{2})))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.8.1.2.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - (15 b^{2} + 15 d^{2} + 30 (b d) - 35 g^{2} - 20 h^{2}))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.8.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - (15 b^{2}) - (15 d^{2}) - (30 b d) - (- 35 g^{2}) - (- 20 h^{2}))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.8.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.8.1.4.1

Mutltipliziere $15$ mit $- 1$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - 15 b^{2} - (15 d^{2}) - (30 b d) - (- 35 g^{2}) - (- 20 h^{2}))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.8.1.4.2

Mutltipliziere $15$ mit $- 1$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - 15 b^{2} - 15 d^{2} - (30 b d) - (- 35 g^{2}) - (- 20 h^{2}))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.8.1.4.3

Mutltipliziere $30$ mit $- 1$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - 15 b^{2} - 15 d^{2} - 30 (b d) - (- 35 g^{2}) - (- 20 h^{2}))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.8.1.4.4

Mutltipliziere $- 35$ mit $- 1$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - 15 b^{2} - 15 d^{2} - 30 (b d) + 35 g^{2} - (- 20 h^{2}))}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.8.1.4.5

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 1$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - 15 b^{2} - 15 d^{2} - 30 (b d) + 35 g^{2} + 20 h^{2})}}{2 \cdot 5}$

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (b^{2} + 2 b d + d^{2} - 15 b^{2} - 15 d^{2} - 30 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2})}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.8.2

Subtrahiere $15 b^{2}$ von $b^{2}$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (- 14 b^{2} + 2 b d + d^{2} - 15 d^{2} - 30 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2})}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.8.3

Subtrahiere $30 b d$ von $2 b d$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (- 14 b^{2} + d^{2} - 15 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2})}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.8.4

Subtrahiere $15 d^{2}$ von $d^{2}$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{4 (- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2})}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.9

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm \sqrt{2^{2} (- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2})}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.1.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm 2 \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}}}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d \pm 2 \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}}}{10}$

Schritt 6.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$a = \frac{- 2 b - 2 d - 2 \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}}}{10}$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2 b - 2 d - 2 \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}}$ und $10$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 b$ heraus.

$a = \frac{2 (- b) - 2 d - 2 \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}}}{10}$

Schritt 6.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 d$ heraus.

$a = \frac{2 (- b) + 2 (- d) - 2 \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}}}{10}$

Schritt 6.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- b) + 2 (- d)$ heraus.

$a = \frac{2 (- b - d) - 2 \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}}}{10}$

Schritt 6.4.4

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}}$ heraus.

$a = \frac{2 (- b - d) + 2 (- \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}})}{10}$

Schritt 6.4.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (- b - d) + 2 (- \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}})$ heraus.

$a = \frac{2 (- b - d - \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}})}{10}$

Schritt 6.4.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.4.6.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$a = \frac{2 (- b - d - \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}})}{2 (5)}$

Schritt 6.4.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = \frac{2 (- b - d - \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}})}{2 \cdot 5}$

Schritt 6.4.6.3

Forme den Ausdruck um.

$a = \frac{- b - d - \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}}}{5}$

Schritt 6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- b$ heraus.

$a = \frac{- (b) - d - \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}}}{5}$

Schritt 6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- d$ heraus.

$a = \frac{- (b) - (d) - \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}}}{5}$

Schritt 6.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (b) - (d)$ heraus.

$a = \frac{- (b + d) - \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}}}{5}$

Schritt 6.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}}$ heraus.

$a = \frac{- (b + d) - (\sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}})}{5}$

Schritt 6.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (b + d) - (\sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}})$ heraus.

$a = \frac{- (b + d + \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}})}{5}$

Schritt 6.10

Schreibe $- (b + d + \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}})$ als $- 1 (b + d + \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}})$ um.

$a = \frac{- 1 (b + d + \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}})}{5}$

Schritt 6.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a = - \frac{b + d + \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}}}{5}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$a = - \frac{b + d - \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}}}{5}$

$a = - \frac{b + d + \sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}}}{5}$

Schritt 8

Setze den Radikanden in $\sqrt{- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2} \geq 0$

Schritt 9

Löse nach $b$ auf.

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Schritt 9.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$- 14 b^{2} - 14 d^{2} - 28 b d + 35 g^{2} + 20 h^{2} = 0$

Schritt 9.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 9.3

Setze die Werte $a = - 14$ , $b = - 28 d$ und $c = - 14 d^{2} + 35 g^{2} + 20 h^{2}$ in die Quadratformel ein und löse nach $b$ auf.

$\frac{28 d \pm \sqrt{{(- 28 d)}^{2} - 4 \cdot (- 14 \cdot (- 14 d^{2} + 35 g^{2} + 20 h^{2}))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.1.1

Füge Klammern hinzu.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{{(- 28 d)}^{2} - 4 \cdot (- 14 \cdot (- 14 d^{2} + 35 g^{2} + 20 h^{2}))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.4.1.2

Es sei $u = - 14 \cdot (- 14 d^{2} + 35 g^{2} + 20 h^{2})$ . Ersetze $u$ für alle $- 14 \cdot (- 14 d^{2} + 35 g^{2} + 20 h^{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.1.2.1

Wende die Produktregel auf $- 28 d$ an.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{{(- 28)}^{2} d^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.4.1.2.2

Potenziere $- 28$ mit $2$ .

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{784 d^{2} - 4 u}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.4.1.3

Faktorisiere $4$ aus $784 d^{2} - 4 u$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $784 d^{2}$ heraus.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (196 d^{2}) - 4 u}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.4.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (196 d^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.4.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (196 d^{2}) + 4 (- u)$ heraus.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (196 d^{2} - u)}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.4.1.4

Ersetze alle $u$ durch $- 14 \cdot (- 14 d^{2} + 35 g^{2} + 20 h^{2})$ .

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (196 d^{2} - (- 14 \cdot (- 14 d^{2} + 35 g^{2} + 20 h^{2})))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.4.1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.1.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (196 d^{2} - (- 14 (- 14 d^{2}) - 14 (35 g^{2}) - 14 (20 h^{2})))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.4.1.5.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.1.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 14$ mit $- 14$ .

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (196 d^{2} - (196 d^{2} - 14 (35 g^{2}) - 14 (20 h^{2})))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.4.1.5.1.2.2

Mutltipliziere $35$ mit $- 14$ .

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (196 d^{2} - (196 d^{2} - 490 g^{2} - 14 (20 h^{2})))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.4.1.5.1.2.3

Mutltipliziere $20$ mit $- 14$ .

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (196 d^{2} - (196 d^{2} - 490 g^{2} - 280 h^{2}))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.4.1.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (196 d^{2} - (196 d^{2}) - (- 490 g^{2}) - (- 280 h^{2}))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.4.1.5.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.1.5.1.4.1

Mutltipliziere $196$ mit $- 1$ .

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (196 d^{2} - 196 d^{2} - (- 490 g^{2}) - (- 280 h^{2}))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.4.1.5.1.4.2

Mutltipliziere $- 490$ mit $- 1$ .

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (196 d^{2} - 196 d^{2} + 490 g^{2} - (- 280 h^{2}))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.4.1.5.1.4.3

Mutltipliziere $- 280$ mit $- 1$ .

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (196 d^{2} - 196 d^{2} + 490 g^{2} + 280 h^{2})}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.4.1.5.2

Subtrahiere $196 d^{2}$ von $196 d^{2}$ .

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (0 + 490 g^{2} + 280 h^{2})}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.4.1.5.3

Addiere $0$ und $490 g^{2}$ .

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (490 g^{2} + 280 h^{2})}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.4.1.6

Faktorisiere $70$ aus $490 g^{2} + 280 h^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.4.1.6.1

Faktorisiere $70$ aus $490 g^{2}$ heraus.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (70 (7 g^{2}) + 280 h^{2})}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.4.1.6.2

Faktorisiere $70$ aus $280 h^{2}$ heraus.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (70 (7 g^{2}) + 70 (4 h^{2}))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.4.1.6.3

Faktorisiere $70$ aus $70 (7 g^{2}) + 70 (4 h^{2})$ heraus.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (70 (7 g^{2} + 4 h^{2}))}}{2 \cdot - 14}$

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 \cdot (70 (7 g^{2} + 4 h^{2}))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.4.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $70$ .

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{280 (7 g^{2} + 4 h^{2})}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.4.1.8

Schreibe $280 (7 g^{2} + 4 h^{2})$ als $2^{2} \cdot (70 (7 g^{2} + {(2 h)}^{2}))$ um.

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Schritt 9.4.1.8.1

Faktorisiere $4$ aus $280$ heraus.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (70) (7 g^{2} + 4 h^{2})}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.4.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{2^{2} \cdot (70 (7 g^{2} + 4 h^{2}))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.4.1.8.3

Schreibe $4 h^{2}$ als ${(2 h)}^{2}$ um.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{2^{2} \cdot (70 (7 g^{2} + {(2 h)}^{2}))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.4.1.8.4

Füge Klammern hinzu.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{2^{2} \cdot (70 (7 g^{2} + {(2 h)}^{2}))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.4.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$b = \frac{28 d \pm 2 \sqrt{70 (7 g^{2} + {(2 h)}^{2})}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.4.1.10

Wende die Produktregel auf $2 h$ an.

$b = \frac{28 d \pm 2 \sqrt{70 (7 g^{2} + 2^{2} h^{2})}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.4.1.11

Potenziere $2$ mit $2$ .

$b = \frac{28 d \pm 2 \sqrt{70 (7 g^{2} + 4 h^{2})}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 14$ .

$b = \frac{28 d \pm 2 \sqrt{70 (7 g^{2} + 4 h^{2})}}{- 28}$

Schritt 9.4.3

Vereinfache $\frac{28 d \pm 2 \sqrt{70 (7 g^{2} + 4 h^{2})}}{- 28}$ .

$b = \frac{14 d \pm \sqrt{70 (7 g^{2} + 4 h^{2})}}{- 14}$

Schritt 9.4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$b = - \frac{14 d \pm \sqrt{70 (7 g^{2} + 4 h^{2})}}{14}$

Schritt 9.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.5.1.1

Füge Klammern hinzu.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{{(- 28 d)}^{2} - 4 \cdot (- 14 \cdot (- 14 d^{2} + 35 g^{2} + 20 h^{2}))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.5.1.2

Es sei $u = - 14 \cdot (- 14 d^{2} + 35 g^{2} + 20 h^{2})$ . Ersetze $u$ für alle $- 14 \cdot (- 14 d^{2} + 35 g^{2} + 20 h^{2})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.5.1.2.1

Wende die Produktregel auf $- 28 d$ an.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{{(- 28)}^{2} d^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.5.1.2.2

Potenziere $- 28$ mit $2$ .

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{784 d^{2} - 4 u}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.5.1.3

Faktorisiere $4$ aus $784 d^{2} - 4 u$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.5.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $784 d^{2}$ heraus.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (196 d^{2}) - 4 u}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.5.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (196 d^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.5.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (196 d^{2}) + 4 (- u)$ heraus.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (196 d^{2} - u)}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.5.1.4

Ersetze alle $u$ durch $- 14 \cdot (- 14 d^{2} + 35 g^{2} + 20 h^{2})$ .

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (196 d^{2} - (- 14 \cdot (- 14 d^{2} + 35 g^{2} + 20 h^{2})))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.5.1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.5.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.5.1.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (196 d^{2} - (- 14 (- 14 d^{2}) - 14 (35 g^{2}) - 14 (20 h^{2})))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.5.1.5.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.5.1.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 14$ mit $- 14$ .

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (196 d^{2} - (196 d^{2} - 14 (35 g^{2}) - 14 (20 h^{2})))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.5.1.5.1.2.2

Mutltipliziere $35$ mit $- 14$ .

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (196 d^{2} - (196 d^{2} - 490 g^{2} - 14 (20 h^{2})))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.5.1.5.1.2.3

Mutltipliziere $20$ mit $- 14$ .

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (196 d^{2} - (196 d^{2} - 490 g^{2} - 280 h^{2}))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.5.1.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (196 d^{2} - (196 d^{2}) - (- 490 g^{2}) - (- 280 h^{2}))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.5.1.5.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.5.1.5.1.4.1

Mutltipliziere $196$ mit $- 1$ .

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (196 d^{2} - 196 d^{2} - (- 490 g^{2}) - (- 280 h^{2}))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.5.1.5.1.4.2

Mutltipliziere $- 490$ mit $- 1$ .

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (196 d^{2} - 196 d^{2} + 490 g^{2} - (- 280 h^{2}))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.5.1.5.1.4.3

Mutltipliziere $- 280$ mit $- 1$ .

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (196 d^{2} - 196 d^{2} + 490 g^{2} + 280 h^{2})}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.5.1.5.2

Subtrahiere $196 d^{2}$ von $196 d^{2}$ .

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (0 + 490 g^{2} + 280 h^{2})}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.5.1.5.3

Addiere $0$ und $490 g^{2}$ .

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (490 g^{2} + 280 h^{2})}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.5.1.6

Faktorisiere $70$ aus $490 g^{2} + 280 h^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.5.1.6.1

Faktorisiere $70$ aus $490 g^{2}$ heraus.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (70 (7 g^{2}) + 280 h^{2})}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.5.1.6.2

Faktorisiere $70$ aus $280 h^{2}$ heraus.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (70 (7 g^{2}) + 70 (4 h^{2}))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.5.1.6.3

Faktorisiere $70$ aus $70 (7 g^{2}) + 70 (4 h^{2})$ heraus.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (70 (7 g^{2} + 4 h^{2}))}}{2 \cdot - 14}$

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 \cdot (70 (7 g^{2} + 4 h^{2}))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.5.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $70$ .

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{280 (7 g^{2} + 4 h^{2})}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.5.1.8

Schreibe $280 (7 g^{2} + 4 h^{2})$ als $2^{2} \cdot (70 (7 g^{2} + {(2 h)}^{2}))$ um.

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Schritt 9.5.1.8.1

Faktorisiere $4$ aus $280$ heraus.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (70) (7 g^{2} + 4 h^{2})}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.5.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{2^{2} \cdot (70 (7 g^{2} + 4 h^{2}))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.5.1.8.3

Schreibe $4 h^{2}$ als ${(2 h)}^{2}$ um.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{2^{2} \cdot (70 (7 g^{2} + {(2 h)}^{2}))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.5.1.8.4

Füge Klammern hinzu.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{2^{2} \cdot (70 (7 g^{2} + {(2 h)}^{2}))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.5.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$b = \frac{28 d \pm 2 \sqrt{70 (7 g^{2} + {(2 h)}^{2})}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.5.1.10

Wende die Produktregel auf $2 h$ an.

$b = \frac{28 d \pm 2 \sqrt{70 (7 g^{2} + 2^{2} h^{2})}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.5.1.11

Potenziere $2$ mit $2$ .

$b = \frac{28 d \pm 2 \sqrt{70 (7 g^{2} + 4 h^{2})}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 14$ .

$b = \frac{28 d \pm 2 \sqrt{70 (7 g^{2} + 4 h^{2})}}{- 28}$

Schritt 9.5.3

Vereinfache $\frac{28 d \pm 2 \sqrt{70 (7 g^{2} + 4 h^{2})}}{- 28}$ .

$b = \frac{14 d \pm \sqrt{70 (7 g^{2} + 4 h^{2})}}{- 14}$

Schritt 9.5.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$b = - \frac{14 d \pm \sqrt{70 (7 g^{2} + 4 h^{2})}}{14}$

Schritt 9.5.5

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$b = - \frac{14 d + \sqrt{70 (7 g^{2} + 4 h^{2})}}{14}$

Schritt 9.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 9.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.6.1.1

Füge Klammern hinzu.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{{(- 28 d)}^{2} - 4 \cdot (- 14 \cdot (- 14 d^{2} + 35 g^{2} + 20 h^{2}))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.6.1.2

Es sei $u = - 14 \cdot (- 14 d^{2} + 35 g^{2} + 20 h^{2})$ . Ersetze $u$ für alle $- 14 \cdot (- 14 d^{2} + 35 g^{2} + 20 h^{2})$ .

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Schritt 9.6.1.2.1

Wende die Produktregel auf $- 28 d$ an.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{{(- 28)}^{2} d^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.6.1.2.2

Potenziere $- 28$ mit $2$ .

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{784 d^{2} - 4 u}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.6.1.3

Faktorisiere $4$ aus $784 d^{2} - 4 u$ heraus.

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Schritt 9.6.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $784 d^{2}$ heraus.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (196 d^{2}) - 4 u}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.6.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 u$ heraus.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (196 d^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.6.1.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (196 d^{2}) + 4 (- u)$ heraus.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (196 d^{2} - u)}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.6.1.4

Ersetze alle $u$ durch $- 14 \cdot (- 14 d^{2} + 35 g^{2} + 20 h^{2})$ .

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (196 d^{2} - (- 14 \cdot (- 14 d^{2} + 35 g^{2} + 20 h^{2})))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.6.1.5

Vereinfache.

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Schritt 9.6.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.6.1.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (196 d^{2} - (- 14 (- 14 d^{2}) - 14 (35 g^{2}) - 14 (20 h^{2})))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.6.1.5.1.2

Vereinfache.

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Schritt 9.6.1.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 14$ mit $- 14$ .

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (196 d^{2} - (196 d^{2} - 14 (35 g^{2}) - 14 (20 h^{2})))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.6.1.5.1.2.2

Mutltipliziere $35$ mit $- 14$ .

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (196 d^{2} - (196 d^{2} - 490 g^{2} - 14 (20 h^{2})))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.6.1.5.1.2.3

Mutltipliziere $20$ mit $- 14$ .

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (196 d^{2} - (196 d^{2} - 490 g^{2} - 280 h^{2}))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.6.1.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (196 d^{2} - (196 d^{2}) - (- 490 g^{2}) - (- 280 h^{2}))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.6.1.5.1.4

Vereinfache.

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Schritt 9.6.1.5.1.4.1

Mutltipliziere $196$ mit $- 1$ .

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (196 d^{2} - 196 d^{2} - (- 490 g^{2}) - (- 280 h^{2}))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.6.1.5.1.4.2

Mutltipliziere $- 490$ mit $- 1$ .

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (196 d^{2} - 196 d^{2} + 490 g^{2} - (- 280 h^{2}))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.6.1.5.1.4.3

Mutltipliziere $- 280$ mit $- 1$ .

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (196 d^{2} - 196 d^{2} + 490 g^{2} + 280 h^{2})}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.6.1.5.2

Subtrahiere $196 d^{2}$ von $196 d^{2}$ .

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (0 + 490 g^{2} + 280 h^{2})}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.6.1.5.3

Addiere $0$ und $490 g^{2}$ .

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (490 g^{2} + 280 h^{2})}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.6.1.6

Faktorisiere $70$ aus $490 g^{2} + 280 h^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.6.1.6.1

Faktorisiere $70$ aus $490 g^{2}$ heraus.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (70 (7 g^{2}) + 280 h^{2})}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.6.1.6.2

Faktorisiere $70$ aus $280 h^{2}$ heraus.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (70 (7 g^{2}) + 70 (4 h^{2}))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.6.1.6.3

Faktorisiere $70$ aus $70 (7 g^{2}) + 70 (4 h^{2})$ heraus.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (70 (7 g^{2} + 4 h^{2}))}}{2 \cdot - 14}$

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 \cdot (70 (7 g^{2} + 4 h^{2}))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.6.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $70$ .

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{280 (7 g^{2} + 4 h^{2})}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.6.1.8

Schreibe $280 (7 g^{2} + 4 h^{2})$ als $2^{2} \cdot (70 (7 g^{2} + {(2 h)}^{2}))$ um.

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Schritt 9.6.1.8.1

Faktorisiere $4$ aus $280$ heraus.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{4 (70) (7 g^{2} + 4 h^{2})}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.6.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{2^{2} \cdot (70 (7 g^{2} + 4 h^{2}))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.6.1.8.3

Schreibe $4 h^{2}$ als ${(2 h)}^{2}$ um.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{2^{2} \cdot (70 (7 g^{2} + {(2 h)}^{2}))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.6.1.8.4

Füge Klammern hinzu.

$b = \frac{28 d \pm \sqrt{2^{2} \cdot (70 (7 g^{2} + {(2 h)}^{2}))}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.6.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$b = \frac{28 d \pm 2 \sqrt{70 (7 g^{2} + {(2 h)}^{2})}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.6.1.10

Wende die Produktregel auf $2 h$ an.

$b = \frac{28 d \pm 2 \sqrt{70 (7 g^{2} + 2^{2} h^{2})}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.6.1.11

Potenziere $2$ mit $2$ .

$b = \frac{28 d \pm 2 \sqrt{70 (7 g^{2} + 4 h^{2})}}{2 \cdot - 14}$

Schritt 9.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 14$ .

$b = \frac{28 d \pm 2 \sqrt{70 (7 g^{2} + 4 h^{2})}}{- 28}$

Schritt 9.6.3

Vereinfache $\frac{28 d \pm 2 \sqrt{70 (7 g^{2} + 4 h^{2})}}{- 28}$ .

$b = \frac{14 d \pm \sqrt{70 (7 g^{2} + 4 h^{2})}}{- 14}$

Schritt 9.6.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$b = - \frac{14 d \pm \sqrt{70 (7 g^{2} + 4 h^{2})}}{14}$

Schritt 9.6.5

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$b = - \frac{14 d - \sqrt{70 (7 g^{2} + 4 h^{2})}}{14}$

Schritt 9.7

Fasse die Lösungen zusammen.

$b = - \frac{14 d + \sqrt{70 (7 g^{2} + 4 h^{2})}}{14}$

$b = - \frac{14 d - \sqrt{70 (7 g^{2} + 4 h^{2})}}{14}$

$b = - \frac{14 d + \sqrt{70 (7 g^{2} + 4 h^{2})}}{14}$

$b = - \frac{14 d - \sqrt{70 (7 g^{2} + 4 h^{2})}}{14}$

Schritt 10

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${b | b \in ℝ}$