Lineare Algebra Beispiele

$5000 = 4000 {(1 + r (e f \cdot f))}^{4}$

Schritt 1

Da $r$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$4000 {(1 + r e f \cdot f)}^{4} = 5000$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Potenziere $f$ mit $1$ .

$4000 {(1 + r e (f^{1} f))}^{4} = 5000$

Schritt 2.2

Potenziere $f$ mit $1$ .

$4000 {(1 + r e (f^{1} f^{1}))}^{4} = 5000$

Schritt 2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4000 {(1 + r e f^{1 + 1})}^{4} = 5000$

Schritt 2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$4000 {(1 + r e f^{2})}^{4} = 5000$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $4000 {(1 + r e f^{2})}^{4} = 5000$ durch $4000$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $4000 {(1 + r e f^{2})}^{4} = 5000$ durch $4000$ .

$\frac{4000 {(1 + r e f^{2})}^{4}}{4000} = \frac{5000}{4000}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4000$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4000 {(1 + r e f^{2})}^{4}}{4000} = \frac{5000}{4000}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere ${(1 + r e f^{2})}^{4}$ durch $1$ .

${(1 + r e f^{2})}^{4} = \frac{5000}{4000}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5000$ und $4000$ .

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $1000$ aus $5000$ heraus.

${(1 + r e f^{2})}^{4} = \frac{1000 (5)}{4000}$

Schritt 3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.1.2.1

Faktorisiere $1000$ aus $4000$ heraus.

${(1 + r e f^{2})}^{4} = \frac{1000 \cdot 5}{1000 \cdot 4}$

Schritt 3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(1 + r e f^{2})}^{4} = \frac{1000 \cdot 5}{1000 \cdot 4}$

Schritt 3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

${(1 + r e f^{2})}^{4} = \frac{5}{4}$

Schritt 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$1 + r e f^{2} = \pm \sqrt[4]{\frac{5}{4}}$

Schritt 5

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{\frac{5}{4}}$ .

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Schritt 5.1

Schreibe $\sqrt[4]{\frac{5}{4}}$ als $\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt[4]{4}}$ um.

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt[4]{4}}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt[4]{2^{2}}}$

Schritt 5.2.2

Schreibe $\sqrt[4]{2^{2}}$ als $\sqrt{\sqrt{2^{2}}}$ um.

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{\sqrt{2^{2}}}}$

Schritt 5.2.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 5.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[4]{5}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 5.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 5.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 5.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 5.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 5.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 5.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.1

Forme den Ausdruck um unter Verwendung des kleinsten gemeinsamen Index von $4$ .

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Schritt 5.5.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 5.5.1.2

Schreibe $2^{\frac{1}{2}}$ als $2^{\frac{2}{4}}$ um.

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \cdot 2^{\frac{2}{4}}}{2}$

Schritt 5.5.1.3

Schreibe $2^{\frac{2}{4}}$ als $\sqrt[4]{2^{2}}$ um.

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5} \sqrt[4]{2^{2}}}{2}$

Schritt 5.5.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5 \cdot 2^{2}}}{2}$

Schritt 5.5.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{5 \cdot 4}}{2}$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$1 + r e f^{2} = \pm \frac{\sqrt[4]{20}}{2}$

Schritt 6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$1 + r e f^{2} = \frac{\sqrt[4]{20}}{2}$

Schritt 6.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r e f^{2} = \frac{\sqrt[4]{20}}{2} - 1$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $r e f^{2} = \frac{\sqrt[4]{20}}{2} - 1$ durch $e f^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $r e f^{2} = \frac{\sqrt[4]{20}}{2} - 1$ durch $e f^{2}$ .

$\frac{r e f^{2}}{e f^{2}} = \frac{\frac{\sqrt[4]{20}}{2}}{e f^{2}} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{r e f^{2}}{e f^{2}} = \frac{\frac{\sqrt[4]{20}}{2}}{e f^{2}} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Schritt 6.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{r f^{2}}{f^{2}} = \frac{\frac{\sqrt[4]{20}}{2}}{e f^{2}} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Schritt 6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $f^{2}$ .

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Schritt 6.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{r f^{2}}{f^{2}} = \frac{\frac{\sqrt[4]{20}}{2}}{e f^{2}} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Schritt 6.3.2.2.2

Dividiere $r$ durch $1$ .

$r = \frac{\frac{\sqrt[4]{20}}{2}}{e f^{2}} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$r = \frac{\sqrt[4]{20}}{2} \cdot \frac{1}{e f^{2}} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Schritt 6.3.3.1.2

Kombinieren.

$r = \frac{\sqrt[4]{20} \cdot 1}{2 (e f^{2})} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Schritt 6.3.3.1.3

Mutltipliziere $\sqrt[4]{20}$ mit $1$ .

$r = \frac{\sqrt[4]{20}}{2 e f^{2}} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Schritt 6.3.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$r = \frac{\sqrt[4]{20}}{2 e f^{2}} - \frac{1}{e f^{2}}$

Schritt 6.4

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$1 + r e f^{2} = - \frac{\sqrt[4]{20}}{2}$

Schritt 6.5

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r e f^{2} = - \frac{\sqrt[4]{20}}{2} - 1$

Schritt 6.6

Teile jeden Ausdruck in $r e f^{2} = - \frac{\sqrt[4]{20}}{2} - 1$ durch $e f^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 6.6.1

Teile jeden Ausdruck in $r e f^{2} = - \frac{\sqrt[4]{20}}{2} - 1$ durch $e f^{2}$ .

$\frac{r e f^{2}}{e f^{2}} = \frac{- \frac{\sqrt[4]{20}}{2}}{e f^{2}} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Schritt 6.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e$ .

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Schritt 6.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{r e f^{2}}{e f^{2}} = \frac{- \frac{\sqrt[4]{20}}{2}}{e f^{2}} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Schritt 6.6.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{r f^{2}}{f^{2}} = \frac{- \frac{\sqrt[4]{20}}{2}}{e f^{2}} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Schritt 6.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $f^{2}$ .

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Schritt 6.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{r f^{2}}{f^{2}} = \frac{- \frac{\sqrt[4]{20}}{2}}{e f^{2}} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Schritt 6.6.2.2.2

Dividiere $r$ durch $1$ .

$r = \frac{- \frac{\sqrt[4]{20}}{2}}{e f^{2}} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Schritt 6.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.6.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$r = - \frac{\sqrt[4]{20}}{2} \cdot \frac{1}{e f^{2}} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Schritt 6.6.3.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{e f^{2}}$ mit $\frac{\sqrt[4]{20}}{2}$ .

$r = - \frac{\sqrt[4]{20}}{e f^{2} \cdot 2} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Schritt 6.6.3.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e f^{2}$ .

$r = - \frac{\sqrt[4]{20}}{2 \cdot (e f^{2})} + \frac{- 1}{e f^{2}}$

Schritt 6.6.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$r = - \frac{\sqrt[4]{20}}{2 e f^{2}} - \frac{1}{e f^{2}}$

Schritt 6.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$r = \frac{\sqrt[4]{20}}{2 e f^{2}} - \frac{1}{e f^{2}}$

$r = - \frac{\sqrt[4]{20}}{2 e f^{2}} - \frac{1}{e f^{2}}$

$r = \frac{\sqrt[4]{20}}{2 e f^{2}} - \frac{1}{e f^{2}}$

$r = - \frac{\sqrt[4]{20}}{2 e f^{2}} - \frac{1}{e f^{2}}$

Schritt 7

Setze den Nenner in $\frac{\sqrt[4]{20}}{2 e f^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 e f^{2} = 0$

Schritt 8

Löse nach $f$ auf.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $2 e f^{2} = 0$ durch $2 e$ und vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 e f^{2} = 0$ durch $2 e$ .

$\frac{2 e f^{2}}{2 e} = \frac{0}{2 e}$

Schritt 8.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 e f^{2}}{2 e} = \frac{0}{2 e}$

Schritt 8.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e f^{2}}{e} = \frac{0}{2 e}$

Schritt 8.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e$ .

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Schritt 8.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e f^{2}}{e} = \frac{0}{2 e}$

Schritt 8.1.2.2.2

Dividiere $f^{2}$ durch $1$ .

$f^{2} = \frac{0}{2 e}$

Schritt 8.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 8.1.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$f^{2} = \frac{2 (0)}{2 e}$

Schritt 8.1.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.1.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 e$ heraus.

$f^{2} = \frac{2 (0)}{2 (e)}$

Schritt 8.1.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{2} = \frac{2 \cdot 0}{2 e}$

Schritt 8.1.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{2} = \frac{0}{e}$

Schritt 8.1.3.2

Dividiere $0$ durch $e$ .

$f^{2} = 0$

Schritt 8.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$f = \pm \sqrt{0}$

Schritt 8.3

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 8.3.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 8.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f = \pm 0$

Schritt 8.3.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$f = 0$

Schritt 9

Setze den Nenner in $\frac{1}{e f^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$e f^{2} = 0$

Schritt 10

Löse nach $f$ auf.

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Schritt 10.1

Teile jeden Ausdruck in $e f^{2} = 0$ durch $e$ und vereinfache.

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Schritt 10.1.1

Teile jeden Ausdruck in $e f^{2} = 0$ durch $e$ .

$\frac{e f^{2}}{e} = \frac{0}{e}$

Schritt 10.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e$ .

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Schritt 10.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e f^{2}}{e} = \frac{0}{e}$

Schritt 10.1.2.1.2

Dividiere $f^{2}$ durch $1$ .

$f^{2} = \frac{0}{e}$

Schritt 10.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.1.3.1

Dividiere $0$ durch $e$ .

$f^{2} = 0$

Schritt 10.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$f = \pm \sqrt{0}$

Schritt 10.3

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 10.3.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 10.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f = \pm 0$

Schritt 10.3.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$f = 0$

Schritt 11

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $f$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${f | f \neq 0}$

Schritt 12