Lineare Algebra Beispiele

$z = \frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{25}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{25} = z$ um.

$\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{25} = z$

Schritt 2

Addiere $\frac{x^{2}}{25}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{2}}{16} = z + \frac{x^{2}}{25}$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $16$ .

$16 \frac{y^{2}}{16} = 16 (z + \frac{x^{2}}{25})$

Schritt 4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $16$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 \frac{y^{2}}{16} = 16 (z + \frac{x^{2}}{25})$

Schritt 4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 16 (z + \frac{x^{2}}{25})$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache $16 (z + \frac{x^{2}}{25})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 16 z + 16 \frac{x^{2}}{25}$

Schritt 4.2.1.2

Kombiniere $16$ und $\frac{x^{2}}{25}$ .

$y^{2} = 16 z + \frac{16 x^{2}}{25}$

Schritt 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{16 z + \frac{16 x^{2}}{25}}$

Schritt 6

Vereinfache $\pm \sqrt{16 z + \frac{16 x^{2}}{25}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Faktorisiere $16$ aus $16 z + \frac{16 x^{2}}{25}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1.1

Faktorisiere $16$ aus $16 z$ heraus.

$y = \pm \sqrt{16 (z) + \frac{16 x^{2}}{25}}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $16$ aus $\frac{16 x^{2}}{25}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{16 (z) + 16 \frac{x^{2}}{25}}$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $16$ aus $16 (z) + 16 \frac{x^{2}}{25}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{16 (z + \frac{x^{2}}{25})}$

Schritt 6.2

Um $z$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{25}{25}$ .

$y = \pm \sqrt{16 (z \cdot \frac{25}{25} + \frac{x^{2}}{25})}$

Schritt 6.3

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Kombiniere $z$ und $\frac{25}{25}$ .

$y = \pm \sqrt{16 (\frac{z \cdot 25}{25} + \frac{x^{2}}{25})}$

Schritt 6.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{16 \frac{z \cdot 25 + x^{2}}{25}}$

Schritt 6.4

Bringe $25$ auf die linke Seite von $z$ .

$y = \pm \sqrt{16 \frac{25 z + x^{2}}{25}}$

Schritt 6.5

Kombiniere $16$ und $\frac{25 z + x^{2}}{25}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (25 z + x^{2})}{25}}$

Schritt 6.6

Schreibe $\frac{16 (25 z + x^{2})}{25}$ als ${(\frac{2^{2}}{5})}^{2} (25 z + x^{2})$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.1

Faktorisiere die perfekte Potenz ${(2^{2})}^{2}$ aus $16 (25 z + x^{2})$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} (25 z + x^{2})}{25}}$

Schritt 6.6.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $5^{2}$ aus $25$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} (25 z + x^{2})}{5^{2} \cdot 1}}$

Schritt 6.6.3

Ordne den Bruch $\frac{{(2^{2})}^{2} (25 z + x^{2})}{5^{2} \cdot 1}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{5})}^{2} (25 z + x^{2})}$

Schritt 6.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{2^{2}}{5} \sqrt{25 z + x^{2}}$

Schritt 6.8

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \pm \frac{4}{5} \sqrt{25 z + x^{2}}$

Schritt 6.9

Kombiniere $\frac{4}{5}$ und $\sqrt{25 z + x^{2}}$ .

$y = \pm \frac{4 \sqrt{25 z + x^{2}}}{5}$

Schritt 7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{4 \sqrt{25 z + x^{2}}}{5}$

Schritt 7.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{4 \sqrt{25 z + x^{2}}}{5}$

Schritt 7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{4 \sqrt{25 z + x^{2}}}{5}$

$y = - \frac{4 \sqrt{25 z + x^{2}}}{5}$

$y = \frac{4 \sqrt{25 z + x^{2}}}{5}$

$y = - \frac{4 \sqrt{25 z + x^{2}}}{5}$

Schritt 8

Setze den Radikanden in $\sqrt{25 z + x^{2}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$25 z + x^{2} \geq 0$

Schritt 9

Löse nach $z$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$25 z \geq - x^{2}$

Schritt 9.2

Teile jeden Ausdruck in $25 z \geq - x^{2}$ durch $25$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Teile jeden Ausdruck in $25 z \geq - x^{2}$ durch $25$ .

$\frac{25 z}{25} \geq \frac{- x^{2}}{25}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25 z}{25} \geq \frac{- x^{2}}{25}$

Schritt 9.2.2.1.2

Dividiere $z$ durch $1$ .

$z \geq \frac{- x^{2}}{25}$

Schritt 9.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$z \geq - \frac{x^{2}}{25}$

Schritt 10

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${z | z \in ℝ}$