Lineare Algebra Beispiele

$y - 2 x y = x^{3} y^{5}$

Schritt 1

Subtrahiere $x^{3} y^{5}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y - 2 x y - x^{3} y^{5} = 0$

Schritt 2

Faktorisiere $y$ aus $y - 2 x y - x^{3} y^{5}$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$y \cdot 1 - 2 x y - x^{3} y^{5} = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $y$ aus $- 2 x y$ heraus.

$y \cdot 1 + y (- 2 x) - x^{3} y^{5} = 0$

Schritt 2.3

Faktorisiere $y$ aus $- x^{3} y^{5}$ heraus.

$y \cdot 1 + y (- 2 x) + y (- x^{3} y^{4}) = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 1 + y (- 2 x)$ heraus.

$y \cdot (1 - 2 x) + y (- x^{3} y^{4}) = 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot (1 - 2 x) + y (- x^{3} y^{4})$ heraus.

$y (1 - 2 x - x^{3} y^{4}) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y = 0$

$1 - 2 x - x^{3} y^{4} = 0$

Schritt 4

Setze $y$ gleich $0$ .

$y = 0$

Schritt 5

Setze $1 - 2 x - x^{3} y^{4}$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $1 - 2 x - x^{3} y^{4}$ gleich $0$ .

$1 - 2 x - x^{3} y^{4} = 0$

Schritt 5.2

Löse $1 - 2 x - x^{3} y^{4} = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 5.2.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x - x^{3} y^{4} = - 1$

Schritt 5.2.1.2

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{3} y^{4} = - 1 + 2 x$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{3} y^{4} = - 1 + 2 x$ durch $- x^{3}$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{3} y^{4} = - 1 + 2 x$ durch $- x^{3}$ .

$\frac{- x^{3} y^{4}}{- x^{3}} = \frac{- 1}{- x^{3}} + \frac{2 x}{- x^{3}}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{3} y^{4}}{x^{3}} = \frac{- 1}{- x^{3}} + \frac{2 x}{- x^{3}}$

Schritt 5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 5.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{3} y^{4}}{x^{3}} = \frac{- 1}{- x^{3}} + \frac{2 x}{- x^{3}}$

Schritt 5.2.2.2.2.2

Dividiere $y^{4}$ durch $1$ .

$y^{4} = \frac{- 1}{- x^{3}} + \frac{2 x}{- x^{3}}$

Schritt 5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y^{4} = \frac{1}{x^{3}} + \frac{2 x}{- x^{3}}$

Schritt 5.2.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{3}$ .

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Schritt 5.2.2.3.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$y^{4} = \frac{1}{x^{3}} + \frac{x \cdot 2}{- x^{3}}$

Schritt 5.2.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{3}$ heraus.

$y^{4} = \frac{1}{x^{3}} + \frac{x \cdot 2}{x (- x^{2})}$

Schritt 5.2.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{4} = \frac{1}{x^{3}} + \frac{x \cdot 2}{x (- x^{2})}$

Schritt 5.2.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{4} = \frac{1}{x^{3}} + \frac{2}{- x^{2}}$

Schritt 5.2.2.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{4} = \frac{1}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}}$

Schritt 5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}}}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}}}$ .

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Schritt 5.2.4.1

Um $- \frac{2}{x^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{x}{x}}$

Schritt 5.2.4.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x^{3}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.2.4.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{x^{2}}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2 x}{x^{2} x}}$

Schritt 5.2.4.2.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.4.2.2.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 5.2.4.2.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2 x}{x^{2} x^{1}}}$

Schritt 5.2.4.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2 x}{x^{2 + 1}}}$

Schritt 5.2.4.2.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{x^{3}} - \frac{2 x}{x^{3}}}$

Schritt 5.2.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{1 - 2 x}{x^{3}}}$

Schritt 5.2.4.4

Schreibe $\sqrt[4]{\frac{1 - 2 x}{x^{3}}}$ als $\frac{\sqrt[4]{1 - 2 x}}{\sqrt[4]{x^{3}}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x}}{\sqrt[4]{x^{3}}}$

Schritt 5.2.4.5

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[4]{1 - 2 x}}{\sqrt[4]{x^{3}}}$ mit $\frac{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x}}{\sqrt[4]{x^{3}}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}$

Schritt 5.2.4.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.4.6.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[4]{1 - 2 x}}{\sqrt[4]{x^{3}}}$ mit $\frac{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{\sqrt[4]{x^{3}} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}$

Schritt 5.2.4.6.2

Potenziere $\sqrt[4]{x^{3}}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{1} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}$

Schritt 5.2.4.6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{1 + 3}}$

Schritt 5.2.4.6.4

Addiere $1$ und $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{{\sqrt[4]{x^{3}}}^{4}}$

Schritt 5.2.4.6.5

Schreibe ${\sqrt[4]{x^{3}}}^{4}$ als $x^{3}$ um.

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Schritt 5.2.4.6.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x^{3}}$ als $x^{\frac{3}{4}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{{(x^{\frac{3}{4}})}^{4}}$

Schritt 5.2.4.6.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{x^{\frac{3}{4} \cdot 4}}$

Schritt 5.2.4.6.5.3

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $4$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{x^{\frac{3 \cdot 4}{4}}}$

Schritt 5.2.4.6.5.4

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{x^{\frac{12}{4}}}$

Schritt 5.2.4.6.5.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $4$ .

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Schritt 5.2.4.6.5.5.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{x^{\frac{4 \cdot 3}{4}}}$

Schritt 5.2.4.6.5.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.4.6.5.5.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{x^{\frac{4 \cdot 3}{4 (1)}}}$

Schritt 5.2.4.6.5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{x^{\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1}}}$

Schritt 5.2.4.6.5.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{x^{\frac{3}{1}}}$

Schritt 5.2.4.6.5.5.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} {\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}}{x^{3}}$

Schritt 5.2.4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.4.7.1

Schreibe ${\sqrt[4]{x^{3}}}^{3}$ als $\sqrt[4]{{(x^{3})}^{3}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} \sqrt[4]{{(x^{3})}^{3}}}{x^{3}}$

Schritt 5.2.4.7.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{3}$ .

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Schritt 5.2.4.7.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} \sqrt[4]{x^{3 \cdot 3}}}{x^{3}}$

Schritt 5.2.4.7.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} \sqrt[4]{x^{9}}}{x^{3}}$

Schritt 5.2.4.7.3

Schreibe $x^{9}$ als ${(x^{2})}^{4} x$ um.

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Schritt 5.2.4.7.3.1

Faktorisiere $x^{8}$ aus.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} \sqrt[4]{x^{8} x}}{x^{3}}$

Schritt 5.2.4.7.3.2

Schreibe $x^{8}$ als ${(x^{2})}^{4}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} \sqrt[4]{{(x^{2})}^{4} x}}{x^{3}}$

Schritt 5.2.4.7.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{1 - 2 x} x^{2} \sqrt[4]{x}}{x^{3}}$

Schritt 5.2.4.7.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{x^{2} \sqrt[4]{(1 - 2 x) x}}{x^{3}}$

Schritt 5.2.4.8

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.4.8.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x^{3}$ .

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Schritt 5.2.4.8.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} \sqrt[4]{(1 - 2 x) x}$ heraus.

$y = \pm \frac{x^{2} (\sqrt[4]{(1 - 2 x) x})}{x^{3}}$

Schritt 5.2.4.8.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.4.8.1.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$y = \pm \frac{x^{2} (\sqrt[4]{(1 - 2 x) x})}{x^{2} x}$

Schritt 5.2.4.8.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{x^{2} \sqrt[4]{(1 - 2 x) x}}{x^{2} x}$

Schritt 5.2.4.8.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{(1 - 2 x) x}}{x}$

Schritt 5.2.4.8.2

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt[4]{(1 - 2 x) x}}{x}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

Schritt 5.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

Schritt 5.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

Schritt 5.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $y (1 - 2 x - x^{3} y^{4}) = 0$ wahr machen.

$y = 0$

$y = \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$

Schritt 7

Setze den Radikanden in $\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x (1 - 2 x) \geq 0$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$1 - 2 x = 0$

Schritt 8.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 8.3

Setze $1 - 2 x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.3.1

Setze $1 - 2 x$ gleich $0$ .

$1 - 2 x = 0$

Schritt 8.3.2

Löse $1 - 2 x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = - 1$

Schritt 8.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 8.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 8.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 8.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 8.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 8.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 8.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (1 - 2 x) \geq 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Schritt 8.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Schritt 8.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 8.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- 2) (1 - 2 \cdot - 2) \geq 0$

Schritt 8.6.1.3

Die linke Seite $- 10$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.6.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.25$

Schritt 8.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0.25$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(0.25) (1 - 2 \cdot 0.25) \geq 0$

Schritt 8.6.2.3

Die linke Seite $0.125$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 8.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 8.6.3.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(3) (1 - 2 \cdot 3) \geq 0$

Schritt 8.6.3.3

Die linke Seite $- 15$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < \frac{1}{2}$ Wahr

$x > \frac{1}{2}$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < \frac{1}{2}$ Wahr

$x > \frac{1}{2}$ Falsch

Schritt 8.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 \leq x \leq \frac{1}{2}$

Schritt 9

Setze den Nenner in $\frac{\sqrt[4]{x (1 - 2 x)}}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 10

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(0, \frac{1}{2}]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | 0 < x \leq \frac{1}{2}}$

Schritt 11