Lineare Algebra Beispiele

$y = \sqrt{\ln (\frac{4 - x}{x - 2})}$

Schritt 1

Setze das Argument in $\ln (\frac{4 - x}{x - 2})$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$\frac{4 - x}{x - 2} > 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$4 - x = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 4$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 4$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 2.3.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 1$ .

$x = 4$

Schritt 2.4

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.5

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 4$

$x = 2$

Schritt 2.6

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 4, 2$

Schritt 2.7

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{4 - x}{x - 2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.7.1

Setze den Nenner in $\frac{4 - x}{x - 2}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 2 = 0$

Schritt 2.7.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.7.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 2.8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 2$

$2 < x < 4$

$x > 4$

Schritt 2.9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 2.9.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4 - (0)}{(0) - 2} > 0$

Schritt 2.9.1.3

Die linke Seite $- 2$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.9.2

Teste einen Wert im Intervall $2 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $2 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 2.9.2.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4 - (3)}{(3) - 2} > 0$

Schritt 2.9.2.3

Die linke Seite $1$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 2.9.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4 - (6)}{(6) - 2} > 0$

Schritt 2.9.3.3

Die linke Seite $- 0.5$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 2$ Falsch

$2 < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

$x < 2$ Falsch

$2 < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

Schritt 2.10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$2 < x < 4$

Schritt 3

Setze den Radikanden in $\sqrt{\ln (\frac{4 - x}{x - 2})}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\ln (\frac{4 - x}{x - 2}) \geq 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$\ln (\frac{4 - x}{x - 2}) = 0$

Schritt 4.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $\ln (\frac{4 - x}{x - 2}) = 0$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{4 - x}{x - 2}$

Schritt 4.2.2

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$4 - x = e^{0} (x - 2)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache $e^{0} (x - 2)$ .

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Schritt 4.2.3.1

Entferne die Klammern.

$4 - x = e^{0} (x - 2)$

Schritt 4.2.3.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$4 - x = 1 (x - 2)$

Schritt 4.2.3.3

Mutltipliziere $x - 2$ mit $1$ .

$4 - x = x - 2$

Schritt 4.2.4

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.4.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 - x - x = - 2$

Schritt 4.2.4.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$4 - 2 x = - 2$

Schritt 4.2.5

Faktorisiere $2$ aus $4 - 2 x$ heraus.

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Schritt 4.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 (2) - 2 x = - 2$

Schritt 4.2.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$2 (2) + 2 (- x) = - 2$

Schritt 4.2.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2) + 2 (- x)$ heraus.

$2 (2 - x) = - 2$

Schritt 4.2.6

Teile jeden Ausdruck in $2 (2 - x) = - 2$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.6.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (2 - x) = - 2$ durch $2$ .

$\frac{2 (2 - x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Schritt 4.2.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 - x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

Schritt 4.2.6.2.1.2

Dividiere $2 - x$ durch $1$ .

$2 - x = \frac{- 2}{2}$

Schritt 4.2.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.6.3.1

Dividiere $- 2$ durch $2$ .

$2 - x = - 1$

Schritt 4.2.7

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.7.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1 - 2$

Schritt 4.2.7.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$- x = - 3$

Schritt 4.2.8

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.8.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 4.2.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.8.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 4.2.8.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 4.2.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.8.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$x = 3$

Schritt 4.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\ln (\frac{4 - x}{x - 2})$ .

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Schritt 4.3.1

Setze das Argument in $\ln (\frac{4 - x}{x - 2})$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$\frac{4 - x}{x - 2} > 0$

Schritt 4.3.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$4 - x = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 4.3.2.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 4$

Schritt 4.3.2.3

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 4$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 4$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 4.3.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 4.3.2.3.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Schritt 4.3.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.3.3.1

Dividiere $- 4$ durch $- 1$ .

$x = 4$

Schritt 4.3.2.4

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 4.3.2.5

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 4$

$x = 2$

Schritt 4.3.2.6

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 4, 2$

Schritt 4.3.2.7

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{4 - x}{x - 2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.7.1

Setze den Nenner in $\frac{4 - x}{x - 2}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 2 = 0$

Schritt 4.3.2.7.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 4.3.2.7.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Schritt 4.3.2.8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 2$

$2 < x < 4$

$x > 4$

Schritt 4.3.2.9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 4.3.2.9.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4 - (0)}{(0) - 2} > 0$

Schritt 4.3.2.9.1.3

Die linke Seite $- 2$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 4.3.2.9.2

Teste einen Wert im Intervall $2 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $2 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 4.3.2.9.2.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4 - (3)}{(3) - 2} > 0$

Schritt 4.3.2.9.2.3

Die linke Seite $1$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 4.3.2.9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 4.3.2.9.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{4 - (6)}{(6) - 2} > 0$

Schritt 4.3.2.9.3.3

Die linke Seite $- 0.5$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 4.3.2.9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 2$ Falsch

$2 < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

$x < 2$ Falsch

$2 < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

Schritt 4.3.2.10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$2 < x < 4$

Schritt 4.3.3

Setze den Nenner in $\frac{4 - x}{x - 2}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 2 = 0$

Schritt 4.3.4

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 4.3.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(2, 4)$

Schritt 4.4

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 2$

$2 < x < 3$

$3 < x < 4$

$x > 4$

Schritt 4.5

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 4.5.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\ln (\frac{4 - (0)}{(0) - 2}) \geq 0$

Schritt 4.5.1.3

Bestimme, ob die Ungleichung erfüllt ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1.3.1

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da sie nicht definiert ist.

$Undefiniert$

Schritt 4.5.1.3.2

Die linke Seite hat keine Lösung, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 4.5.2

Teste einen Wert im Intervall $2 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $2 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2.5$

Schritt 4.5.2.2

Ersetze $x$ durch $2.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\ln (\frac{4 - (2.5)}{(2.5) - 2}) \geq 0$

Schritt 4.5.2.3

Die linke Seite $1.09861228$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 4.5.3

Teste einen Wert im Intervall $3 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $3 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3.5$

Schritt 4.5.3.2

Ersetze $x$ durch $3.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\ln (\frac{4 - (3.5)}{(3.5) - 2}) \geq 0$

Schritt 4.5.3.3

Die linke Seite $- 1.09861228$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 4.5.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 4.5.4.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\ln (\frac{4 - (6)}{(6) - 2}) \geq 0$

Schritt 4.5.4.3

Bestimme, ob die Ungleichung erfüllt ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.4.3.1

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da sie nicht definiert ist.

$Undefiniert$

Schritt 4.5.4.3.2

Die linke Seite hat keine Lösung, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 4.5.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 2$ Falsch

$2 < x < 3$ Wahr

$3 < x < 4$ Falsch

$x > 4$ Falsch

$x < 2$ Falsch

$2 < x < 3$ Wahr

$3 < x < 4$ Falsch

$x > 4$ Falsch

Schritt 4.6

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$2 < x \leq 3$

Schritt 5

Setze den Nenner in $\frac{4 - x}{x - 2}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 2 = 0$

Schritt 6

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 7

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(2, 3]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | 2 < x \leq 3}$

Schritt 8