Lineare Algebra Beispiele

$x + 5 \sqrt{x^{2} + 11 x + 3}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{2} + 11 x + 3}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} + 11 x + 3 \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} + 11 x + 3 = 0$

Schritt 2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 11$ und $c = 3$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1.1

Potenziere $11$ mit $2$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Schritt 2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.1.3

Subtrahiere $12$ von $121$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1.1

Potenziere $11$ mit $2$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Schritt 2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.3

Subtrahiere $12$ von $121$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2}$

Schritt 2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 11 + \sqrt{109}}{2}$

Schritt 2.5.4

Schreibe $- 11$ als $- 1 (11)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 11 + \sqrt{109}}{2}$

Schritt 2.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{109}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 11 - 1 (- \sqrt{109})}{2}$

Schritt 2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (11) - 1 (- \sqrt{109})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (11 - \sqrt{109})}{2}$

Schritt 2.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1.1

Potenziere $11$ mit $2$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Schritt 2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{121 - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.3

Subtrahiere $12$ von $121$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 11 \pm \sqrt{109}}{2}$

Schritt 2.6.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 11 - \sqrt{109}}{2}$

Schritt 2.6.4

Schreibe $- 11$ als $- 1 (11)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 11 - \sqrt{109}}{2}$

Schritt 2.6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{109}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 11 - (\sqrt{109})}{2}$

Schritt 2.6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (11) - (\sqrt{109})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (11 + \sqrt{109})}{2}$

Schritt 2.6.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$

Schritt 2.7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}, - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$

Schritt 2.8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$

$- \frac{11 + \sqrt{109}}{2} < x < - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$

$x > - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$

Schritt 2.9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 13$

Schritt 2.9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 13$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 13)}^{2} + 11 (- 13) + 3 \geq 0$

Schritt 2.9.1.3

Die linke Seite $29$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.9.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{11 + \sqrt{109}}{2} < x < - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{11 + \sqrt{109}}{2} < x < - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 2.9.2.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 3)}^{2} + 11 (- 3) + 3 \geq 0$

Schritt 2.9.2.3

Die linke Seite $- 21$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 2.9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 2.9.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(0)}^{2} + 11 (0) + 3 \geq 0$

Schritt 2.9.3.3

Die linke Seite $3$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$ Wahr

$- \frac{11 + \sqrt{109}}{2} < x < - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ Falsch

$x > - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ Wahr

$x < - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$ Wahr

$- \frac{11 + \sqrt{109}}{2} < x < - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ Falsch

$x > - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$ Wahr

Schritt 2.10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}$ oder $x \geq - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}] \cup [- \frac{11 - \sqrt{109}}{2}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq - \frac{11 + \sqrt{109}}{2}, x \geq - \frac{11 - \sqrt{109}}{2}}$

Schritt 4