Lineare Algebra Beispiele

$x = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Schritt 1

Vereinfache $\frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

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Schritt 1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- b$ heraus.

$x = \frac{- (b) + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{b^{2} - 4 a c}$ heraus.

$x = \frac{- (b) - 1 (- \sqrt{b^{2} - 4 a c})}{2 a}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (b) - 1 (- \sqrt{b^{2} - 4 a c})$ heraus.

$x = \frac{- (b - \sqrt{b^{2} - 4 a c})}{2 a}$

Schritt 1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.1

Schreibe $- (b - \sqrt{b^{2} - 4 a c})$ als $- 1 (b - \sqrt{b^{2} - 4 a c})$ um.

$x = \frac{- 1 (b - \sqrt{b^{2} - 4 a c})}{2 a}$

Schritt 1.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Schritt 2

Setze den Radikanden in $\sqrt{b^{2} - 4 a c}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$b^{2} - 4 a c \geq 0$

Schritt 3

Löse nach $b$ auf.

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Schritt 3.1

Addiere $4 a c$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$b^{2} \geq 4 a c$

Schritt 3.2

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{b^{2}} \geq \sqrt{4 a c}$

Schritt 3.3

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| b | \geq \sqrt{4 a c}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache $\sqrt{4 a c}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Schreibe $4 a c$ als $2^{2} (a c)$ um.

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$| b | \geq \sqrt{2^{2} a c}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Füge Klammern hinzu.

$| b | \geq \sqrt{2^{2} (a c)}$

Schritt 3.3.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| b | \geq | 2 | \sqrt{a c}$

Schritt 3.3.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$| b | \geq 2 \sqrt{a c}$

Schritt 3.4

Schreibe $| b | \geq 2 \sqrt{a c}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 3.4.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$b \geq 0$

Schritt 3.4.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $b$ nicht negativ ist.

$b \geq 2 \sqrt{a c}$

Schritt 3.4.3

Bestimme den Definitionsbereich von $b \geq 2 \sqrt{a c}$ und ermittle die Schnittmenge mit $b \geq 0$ .

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Schritt 3.4.3.1

Bestimme den Definitionsbereich von $b \geq 2 \sqrt{a c}$ .

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Schritt 3.4.3.1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{a c}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$a c \geq 0$

Schritt 3.4.3.1.2

Teile jeden Ausdruck in $a c \geq 0$ durch $c$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.3.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $a c \geq 0$ durch $c$ .

$\frac{a c}{c} \geq \frac{0}{c}$

Schritt 3.4.3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $c$ .

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Schritt 3.4.3.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a c}{c} \geq \frac{0}{c}$

Schritt 3.4.3.1.2.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a \geq \frac{0}{c}$

Schritt 3.4.3.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1.2.3.1

Dividiere $0$ durch $c$ .

$a \geq 0$

Schritt 3.4.3.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $b$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[0, \infty)$

Schritt 3.4.3.2

Bestimme die Schnittmenge von $b \geq 0$ und $[0, \infty)$ .

$b \geq 0$

Schritt 3.4.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$b < 0$

Schritt 3.4.5

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $b$ negativ ist.

$- b \geq 2 \sqrt{a c}$

Schritt 3.4.6

Bestimme den Definitionsbereich von $- b \geq 2 \sqrt{a c}$ und ermittle die Schnittmenge mit $b < 0$ .

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Schritt 3.4.6.1

Bestimme den Definitionsbereich von $- b \geq 2 \sqrt{a c}$ .

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Schritt 3.4.6.1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{a c}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$a c \geq 0$

Schritt 3.4.6.1.2

Teile jeden Ausdruck in $a c \geq 0$ durch $c$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.6.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $a c \geq 0$ durch $c$ .

$\frac{a c}{c} \geq \frac{0}{c}$

Schritt 3.4.6.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.6.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $c$ .

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Schritt 3.4.6.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a c}{c} \geq \frac{0}{c}$

Schritt 3.4.6.1.2.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a \geq \frac{0}{c}$

Schritt 3.4.6.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.6.1.2.3.1

Dividiere $0$ durch $c$ .

$a \geq 0$

Schritt 3.4.6.1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $b$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[0, \infty)$

Schritt 3.4.6.2

Bestimme die Schnittmenge von $b < 0$ und $[0, \infty)$ .

$Keine Lösung$

Schritt 3.4.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} b \geq 2 \sqrt{a c} & b \geq 0 \end{cases}$

Schritt 3.5

Bestimme die Schnittmenge von $b \geq 2 \sqrt{a c}$ und $b \geq 0$ .

$b \geq 2 \sqrt{a c}$ und $b \geq 0$

Schritt 3.6

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$b \geq N o (Max i m u m)$

Schritt 4

Setze den Nenner in $\frac{b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 a = 0$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $2 a = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 a = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 a}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 a}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{0}{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$a = 0$

Schritt 6

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $b$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${b | b \neq 0}$

Schritt 7