Lineare Algebra Beispiele

$x = 8 y^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $8 y^{2} = x$ um.

$8 y^{2} = x$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $8 y^{2} = x$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 y^{2} = x$ durch $8$ .

$\frac{8 y^{2}}{8} = \frac{x}{8}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 y^{2}}{8} = \frac{x}{8}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{8}$

Schritt 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{8}}$

Schritt 4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{x}{8}}$ .

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Schritt 4.1

Schreibe $\frac{x}{8}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} \frac{x}{2}$ um.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $x$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} x}{8}}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $8$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} x}{2^{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.1.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} x}{2^{2} \cdot 2}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \frac{x}{2}}$

Schritt 4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\frac{x}{2}}$

Schritt 4.3

Schreibe $\sqrt{\frac{x}{2}}$ als $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}}$ um.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 4.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 4.5.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 4.5.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 4.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 4.5.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 4.5.6.5

Berechne den Exponenten.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4.6

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x \cdot 2}}{2}$

Schritt 4.7

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{x \cdot 2}}{2}$ .

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Schritt 4.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{x \cdot 2}}{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x \cdot 2}}{4}$

Schritt 4.8

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt{x \cdot 2}}{4}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x}}{4}$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{2 x}}{4}$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{2 x}}{4}$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{2 x}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 x}}{4}$

$y = \frac{\sqrt{2 x}}{4}$

$y = - \frac{\sqrt{2 x}}{4}$

Schritt 6

Setze den Radikanden in $\sqrt{2 x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x \geq 0$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{0}{2}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x \geq 0$

Schritt 8

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq 0}$

Schritt 9