Lineare Algebra Beispiele

$x u \cdot u x + y u \cdot u y = 3 u$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.1

Bewege $x$ .

$x \cdot x u \cdot u + y u \cdot u y = 3 u$

Schritt 1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} u \cdot u + y u \cdot u y = 3 u$

Schritt 1.2

Multipliziere $u$ mit $u$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1

Bewege $u$ .

$x^{2} (u \cdot u) + y u \cdot u y = 3 u$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$x^{2} u^{2} + y u \cdot u y = 3 u$

Schritt 1.3

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1

Bewege $y$ .

$x^{2} u^{2} + y \cdot y u \cdot u = 3 u$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$x^{2} u^{2} + y^{2} u \cdot u = 3 u$

Schritt 1.4

Multipliziere $u$ mit $u$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.1

Bewege $u$ .

$x^{2} u^{2} + y^{2} (u \cdot u) = 3 u$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$x^{2} u^{2} + y^{2} u^{2} = 3 u$

Schritt 2

Subtrahiere $x^{2} u^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} u^{2} = 3 u - x^{2} u^{2}$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $y^{2} u^{2} = 3 u - x^{2} u^{2}$ durch $u^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $y^{2} u^{2} = 3 u - x^{2} u^{2}$ durch $u^{2}$ .

$\frac{y^{2} u^{2}}{u^{2}} = \frac{3 u}{u^{2}} + \frac{- x^{2} u^{2}}{u^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} u^{2}}{u^{2}} = \frac{3 u}{u^{2}} + \frac{- x^{2} u^{2}}{u^{2}}$

Schritt 3.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{3 u}{u^{2}} + \frac{- x^{2} u^{2}}{u^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $u$ und $u^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Faktorisiere $u$ aus $3 u$ heraus.

$y^{2} = \frac{u \cdot 3}{u^{2}} + \frac{- x^{2} u^{2}}{u^{2}}$

Schritt 3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $u$ aus $u^{2}$ heraus.

$y^{2} = \frac{u \cdot 3}{u \cdot u} + \frac{- x^{2} u^{2}}{u^{2}}$

Schritt 3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = \frac{u \cdot 3}{u \cdot u} + \frac{- x^{2} u^{2}}{u^{2}}$

Schritt 3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = \frac{3}{u} + \frac{- x^{2} u^{2}}{u^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = \frac{3}{u} + \frac{- x^{2} u^{2}}{u^{2}}$

Schritt 3.3.1.2.2

Dividiere $- x^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{3}{u} - x^{2}$

Schritt 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{3}{u} - x^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{3}{u} - x^{2}}$ .

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Schritt 5.1

Um $- x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{u}{u}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3}{u} - x^{2} \cdot \frac{u}{u}}$

Schritt 5.2

Kombiniere $- x^{2}$ und $\frac{u}{u}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3}{u} + \frac{- x^{2} u}{u}}$

Schritt 5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 - x^{2} u}{u}}$

Schritt 5.4

Schreibe $\sqrt{\frac{3 - x^{2} u}{u}}$ als $\frac{\sqrt{3 - x^{2} u}}{\sqrt{u}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{3 - x^{2} u}}{\sqrt{u}}$

Schritt 5.5

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3 - x^{2} u}}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{\sqrt{u}}{\sqrt{u}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 - x^{2} u}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{\sqrt{u}}{\sqrt{u}}$

Schritt 5.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.6.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3 - x^{2} u}}{\sqrt{u}}$ mit $\frac{\sqrt{u}}{\sqrt{u}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 - x^{2} u} \sqrt{u}}{\sqrt{u} \sqrt{u}}$

Schritt 5.6.2

Potenziere $\sqrt{u}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 - x^{2} u} \sqrt{u}}{{\sqrt{u}}^{1} \sqrt{u}}$

Schritt 5.6.3

Potenziere $\sqrt{u}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 - x^{2} u} \sqrt{u}}{{\sqrt{u}}^{1} {\sqrt{u}}^{1}}$

Schritt 5.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{\sqrt{3 - x^{2} u} \sqrt{u}}{{\sqrt{u}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 - x^{2} u} \sqrt{u}}{{\sqrt{u}}^{2}}$

Schritt 5.6.6

Schreibe ${\sqrt{u}}^{2}$ als $u$ um.

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Schritt 5.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{\sqrt{3 - x^{2} u} \sqrt{u}}{{(u^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 - x^{2} u} \sqrt{u}}{u^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 - x^{2} u} \sqrt{u}}{u^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{\sqrt{3 - x^{2} u} \sqrt{u}}{u^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt{3 - x^{2} u} \sqrt{u}}{u^{1}}$

Schritt 5.6.6.5

Vereinfache.

$y = \pm \frac{\sqrt{3 - x^{2} u} \sqrt{u}}{u}$

Schritt 5.7

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{\sqrt{(3 - x^{2} u) u}}{u}$

Schritt 5.8

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt{(3 - x^{2} u) u}}{u}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{u (3 - x^{2} u)}}{u}$

Schritt 6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{u (3 - x^{2} u)}}{u}$

Schritt 6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{u (3 - x^{2} u)}}{u}$

Schritt 6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{u (3 - x^{2} u)}}{u}$

$y = - \frac{\sqrt{u (3 - x^{2} u)}}{u}$

$y = \frac{\sqrt{u (3 - x^{2} u)}}{u}$

$y = - \frac{\sqrt{u (3 - x^{2} u)}}{u}$

Schritt 7

Setze den Radikanden in $\sqrt{u (3 - x^{2} u)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$u (3 - x^{2} u) \geq 0$

Schritt 8

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 8.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u = 0$

$3 - x^{2} u = 0$

Schritt 8.2

Setze $u$ gleich $0$ .

$u = 0$

Schritt 8.3

Setze $3 - x^{2} u$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 8.3.1

Setze $3 - x^{2} u$ gleich $0$ .

$3 - x^{2} u = 0$

Schritt 8.3.2

Löse $3 - x^{2} u = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 8.3.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} u = - 3$

Schritt 8.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} u = - 3$ durch $- x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 8.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} u = - 3$ durch $- x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} u}{- x^{2}} = \frac{- 3}{- x^{2}}$

Schritt 8.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2} u}{x^{2}} = \frac{- 3}{- x^{2}}$

Schritt 8.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 8.3.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} u}{x^{2}} = \frac{- 3}{- x^{2}}$

Schritt 8.3.2.2.2.2.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{- 3}{- x^{2}}$

Schritt 8.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$u = \frac{3}{x^{2}}$

Schritt 8.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $u (3 - x^{2} u) \geq 0$ wahr machen.

$u = 0$

$u = \frac{3}{x^{2}}$

$u = 0$

$u = \frac{3}{x^{2}}$

Schritt 9

Setze den Nenner in $\frac{\sqrt{u (3 - x^{2} u)}}{u}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$u = 0$

Schritt 10

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $u$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(N o (Min i m u m), N o (Max i m u m)]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${u | N o (Min i m u m) < u \leq N o (Max i m u m)}$