Lineare Algebra Beispiele

$\frac{2 x^{2} + 3 x - 2}{x^{2} - 9}$

Schritt 1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ und deren Summe gleich $b = 3$ ist.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{2 x^{2} + 3 (x) - 2}{x^{2} - 9}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $3$ um als $- 1$ plus $4$

$\frac{2 x^{2} + (- 1 + 4) x - 2}{x^{2} - 9}$

Schritt 1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - 1 x + 4 x - 2}{x^{2} - 9}$

Schritt 1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(2 x^{2} - 1 x) + 4 x - 2}{x^{2} - 9}$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (2 x - 1) + 2 (2 x - 1)}{x^{2} - 9}$

Schritt 1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) (x + 2)}{x^{2} - 9}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{(2 x - 1) (x + 2)}{x^{2} - 3^{2}}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{(2 x - 1) (x + 2)}{(x + 3) (x - 3)}$