Lineare Algebra Beispiele

$3^{2 x - 7} = \sqrt{81^{x}}$

Schritt 1

Da die Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass sie sich auf der linken Seite der Gleichung befindet.

$\sqrt{81^{x}} = 3^{2 x - 7}$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{81^{x}}}^{2} = {(3^{2 x - 7})}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{81^{x}}$ als $81^{\frac{x}{2}}$ neu zu schreiben.

${(81^{\frac{x}{2}})}^{2} = {(3^{2 x - 7})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(81^{\frac{x}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$81^{\frac{x}{2} \cdot 2} = {(3^{2 x - 7})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$81^{\frac{x}{2} \cdot 2} = {(3^{2 x - 7})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$81^{x} = {(3^{2 x - 7})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(3^{2 x - 7})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$81^{x} = 3^{(2 x - 7) \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$81^{x} = 3^{2 x \cdot 2 - 7 \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$81^{x} = 3^{4 x - 7 \cdot 2}$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $2$ .

$81^{x} = 3^{4 x - 14}$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$3^{4 x} = 3^{4 x - 14}$

Schritt 4.2

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$4 x = 4 x - 14$

Schritt 4.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1.1

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x - 4 x = - 14$

Schritt 4.3.1.2

Subtrahiere $4 x$ von $4 x$ .

$0 = - 14$

Schritt 4.3.2

Da $0 \neq - 14$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung