Lineare Algebra Beispiele

$\frac{\frac{x^{2} - 81}{3 x - 18}}{\frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 3 x - 54}}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} - 81}{3 x - 18}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 x - 18 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Addiere $18$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 18$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 18$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 18$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{18}{3}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{18}{3}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{18}{3}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividiere $18$ durch $3$ .

$x = 6$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 3 x - 54}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} + 3 x - 54 = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $x^{2} + 3 x - 54$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 54$ und deren Summe $3$ ist.

$- 6, 9$

Schritt 4.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 6) (x + 9) = 0$

Schritt 4.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 9 = 0$

Schritt 4.3

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 4.3.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 4.4

Setze $x + 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.1

Setze $x + 9$ gleich $0$ .

$x + 9 = 0$

Schritt 4.4.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 9$

Schritt 4.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 6) (x + 9) = 0$ wahr machen.

$x = 6, - 9$

Schritt 5

Setze den Nenner in $\frac{\frac{x^{2} - 81}{3 x - 18}}{\frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 3 x - 54}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 3 x - 54} = 0$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Setze den Zähler gleich Null.

$x^{2} + 18 x + 81 = 0$

Schritt 6.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 6.2.1.1

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$x^{2} + 18 x + 9^{2} = 0$

Schritt 6.2.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$18 x = 2 \cdot x \cdot 9$

Schritt 6.2.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$x^{2} + 2 \cdot x \cdot 9 + 9^{2} = 0$

Schritt 6.2.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 9$ .

${(x + 9)}^{2} = 0$

Schritt 6.2.2

Setze $x + 9$ gleich $0$ .

$x + 9 = 0$

Schritt 6.2.3

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 9$

Schritt 6.3

Schließe die Lösungen aus, die $\frac{x^{2} + 18 x + 81}{x^{2} + 3 x - 54} = 0$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$

Schritt 7

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, 6) \cup (6, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 6, - 9}$

Schritt 8