Lineare Algebra Beispiele

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{81} - \frac{y^{2}}{144} = 1$

Schritt 1

Vereinfache $\frac{{(x - 3)}^{2}}{81} - \frac{y^{2}}{144}$ .

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Schritt 1.1

Um $\frac{{(x - 3)}^{2}}{81}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{81} \cdot \frac{16}{16} - \frac{y^{2}}{144} = 1$

Schritt 1.2

Um $- \frac{y^{2}}{144}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{81} \cdot \frac{16}{16} - \frac{y^{2}}{144} \cdot \frac{9}{9} = 1$

Schritt 1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $1296$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{{(x - 3)}^{2}}{81}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2} \cdot 16}{81 \cdot 16} - \frac{y^{2}}{144} \cdot \frac{9}{9} = 1$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $81$ mit $16$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2} \cdot 16}{1296} - \frac{y^{2}}{144} \cdot \frac{9}{9} = 1$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $\frac{y^{2}}{144}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2} \cdot 16}{1296} - \frac{y^{2} \cdot 9}{144 \cdot 9} = 1$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $144$ mit $9$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2} \cdot 16}{1296} - \frac{y^{2} \cdot 9}{1296} = 1$

Schritt 1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{{(x - 3)}^{2} \cdot 16 - y^{2} \cdot 9}{1296} = 1$

Schritt 1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1

Schreibe ${(x - 3)}^{2} \cdot 16$ als ${((x - 3) \cdot 4)}^{2}$ um.

$\frac{{((x - 3) \cdot 4)}^{2} - y^{2} \cdot 9}{1296} = 1$

Schritt 1.5.2

Schreibe $y^{2} \cdot 9$ als ${(y \cdot 3)}^{2}$ um.

$\frac{{((x - 3) \cdot 4)}^{2} - {(y \cdot 3)}^{2}}{1296} = 1$

Schritt 1.5.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = (x - 3) \cdot 4$ und $b = y \cdot 3$ .

$\frac{((x - 3) \cdot 4 + y \cdot 3) ((x - 3) \cdot 4 - (y \cdot 3))}{1296} = 1$

Schritt 1.5.4

Vereinfache.

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Schritt 1.5.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x \cdot 4 - 3 \cdot 4 + y \cdot 3) ((x - 3) \cdot 4 - (y \cdot 3))}{1296} = 1$

Schritt 1.5.4.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{(4 \cdot x - 3 \cdot 4 + y \cdot 3) ((x - 3) \cdot 4 - (y \cdot 3))}{1296} = 1$

Schritt 1.5.4.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{(4 \cdot x - 12 + y \cdot 3) ((x - 3) \cdot 4 - (y \cdot 3))}{1296} = 1$

Schritt 1.5.4.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{(4 x - 12 + 3 \cdot y) ((x - 3) \cdot 4 - (y \cdot 3))}{1296} = 1$

Schritt 1.5.4.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(4 x - 12 + 3 y) (x \cdot 4 - 3 \cdot 4 - (y \cdot 3))}{1296} = 1$

Schritt 1.5.4.6

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{(4 x - 12 + 3 y) (4 \cdot x - 3 \cdot 4 - (y \cdot 3))}{1296} = 1$

Schritt 1.5.4.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{(4 x - 12 + 3 y) (4 \cdot x - 12 - (y \cdot 3))}{1296} = 1$

Schritt 1.5.4.8

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{(4 x - 12 + 3 y) (4 x - 12 - (3 \cdot y))}{1296} = 1$

Schritt 1.5.4.9

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{(4 x - 12 + 3 y) (4 x - 12 - 3 y)}{1296} = 1$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $1296$ .

$\frac{(4 x - 12 + 3 y) (4 x - 12 - 3 y)}{1296} \cdot 1296 = 1 \cdot 1296$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache $\frac{(4 x - 12 + 3 y) (4 x - 12 - 3 y)}{1296} \cdot 1296$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1296$ .

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Schritt 3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(4 x - 12 + 3 y) (4 x - 12 - 3 y)}{1296} \cdot 1296 = 1 \cdot 1296$

Schritt 3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$(4 x - 12 + 3 y) (4 x - 12 - 3 y) = 1 \cdot 1296$

Schritt 3.1.1.2

Multipliziere $(4 x - 12 + 3 y) (4 x - 12 - 3 y)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$4 x (4 x) + 4 x \cdot - 12 + 4 x (- 3 y) - 12 (4 x) - 12 \cdot - 12 - 12 (- 3 y) + 3 y (4 x) + 3 y \cdot - 12 + 3 y (- 3 y) = 1 \cdot 1296$

Schritt 3.1.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1.1.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x (4 x) + 4 x \cdot - 12 + 4 x (- 3 y) - 12 (4 x) - 12 \cdot - 12 - 12 (- 3 y) + 3 y (4 x) + 3 y \cdot - 12 + 3 y (- 3 y)$ .

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Schritt 3.1.1.3.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $4 x (- 3 y)$ und $3 y (4 x)$ neu an.

$4 x (4 x) + 4 x \cdot - 12 - 3 \cdot 4 x y - 12 (4 x) - 12 \cdot - 12 - 12 (- 3 y) + 3 \cdot 4 x y + 3 y \cdot - 12 + 3 y (- 3 y) = 1 \cdot 1296$

Schritt 3.1.1.3.1.2

Addiere $- 3 \cdot 4 x y$ und $3 \cdot 4 x y$ .

$4 x (4 x) + 4 x \cdot - 12 - 12 (4 x) - 12 \cdot - 12 - 12 (- 3 y) + 0 + 3 y \cdot - 12 + 3 y (- 3 y) = 1 \cdot 1296$

Schritt 3.1.1.3.1.3

Addiere $4 x (4 x) + 4 x \cdot - 12 - 12 (4 x) - 12 \cdot - 12 - 12 (- 3 y)$ und $0$ .

$4 x (4 x) + 4 x \cdot - 12 - 12 (4 x) - 12 \cdot - 12 - 12 (- 3 y) + 3 y \cdot - 12 + 3 y (- 3 y) = 1 \cdot 1296$

Schritt 3.1.1.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.3.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 12 - 12 (4 x) - 12 \cdot - 12 - 12 (- 3 y) + 3 y \cdot - 12 + 3 y (- 3 y) = 1 \cdot 1296$

Schritt 3.1.1.3.2.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.1.3.2.2.1

Bewege $x$ .

$4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 12 - 12 (4 x) - 12 \cdot - 12 - 12 (- 3 y) + 3 y \cdot - 12 + 3 y (- 3 y) = 1 \cdot 1296$

Schritt 3.1.1.3.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot - 12 - 12 (4 x) - 12 \cdot - 12 - 12 (- 3 y) + 3 y \cdot - 12 + 3 y (- 3 y) = 1 \cdot 1296$

Schritt 3.1.1.3.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$16 x^{2} + 4 x \cdot - 12 - 12 (4 x) - 12 \cdot - 12 - 12 (- 3 y) + 3 y \cdot - 12 + 3 y (- 3 y) = 1 \cdot 1296$

Schritt 3.1.1.3.2.4

Mutltipliziere $- 12$ mit $4$ .

$16 x^{2} - 48 x - 12 (4 x) - 12 \cdot - 12 - 12 (- 3 y) + 3 y \cdot - 12 + 3 y (- 3 y) = 1 \cdot 1296$

Schritt 3.1.1.3.2.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 12$ .

$16 x^{2} - 48 x - 48 x - 12 \cdot - 12 - 12 (- 3 y) + 3 y \cdot - 12 + 3 y (- 3 y) = 1 \cdot 1296$

Schritt 3.1.1.3.2.6

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 12$ .

$16 x^{2} - 48 x - 48 x + 144 - 12 (- 3 y) + 3 y \cdot - 12 + 3 y (- 3 y) = 1 \cdot 1296$

Schritt 3.1.1.3.2.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 12$ .

$16 x^{2} - 48 x - 48 x + 144 + 36 y + 3 y \cdot - 12 + 3 y (- 3 y) = 1 \cdot 1296$

Schritt 3.1.1.3.2.8

Mutltipliziere $- 12$ mit $3$ .

$16 x^{2} - 48 x - 48 x + 144 + 36 y - 36 y + 3 y (- 3 y) = 1 \cdot 1296$

Schritt 3.1.1.3.2.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$16 x^{2} - 48 x - 48 x + 144 + 36 y - 36 y + 3 \cdot - 3 y \cdot y = 1 \cdot 1296$

Schritt 3.1.1.3.2.10

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.1.3.2.10.1

Bewege $y$ .

$16 x^{2} - 48 x - 48 x + 144 + 36 y - 36 y + 3 \cdot - 3 (y \cdot y) = 1 \cdot 1296$

Schritt 3.1.1.3.2.10.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$16 x^{2} - 48 x - 48 x + 144 + 36 y - 36 y + 3 \cdot - 3 y^{2} = 1 \cdot 1296$

Schritt 3.1.1.3.2.11

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$16 x^{2} - 48 x - 48 x + 144 + 36 y - 36 y - 9 y^{2} = 1 \cdot 1296$

Schritt 3.1.1.3.3

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.1.1.3.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $16 x^{2} - 48 x - 48 x + 144 + 36 y - 36 y - 9 y^{2}$ .

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Schritt 3.1.1.3.3.1.1

Subtrahiere $36 y$ von $36 y$ .

$16 x^{2} - 48 x - 48 x + 144 + 0 - 9 y^{2} = 1 \cdot 1296$

Schritt 3.1.1.3.3.1.2

Addiere $16 x^{2} - 48 x - 48 x + 144$ und $0$ .

$16 x^{2} - 48 x - 48 x + 144 - 9 y^{2} = 1 \cdot 1296$

Schritt 3.1.1.3.3.2

Subtrahiere $48 x$ von $- 48 x$ .

$16 x^{2} - 96 x + 144 - 9 y^{2} = 1 \cdot 1296$

Schritt 3.1.1.3.3.3

Stelle um.

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Schritt 3.1.1.3.3.3.1

Bewege $144$ .

$16 x^{2} - 96 x - 9 y^{2} + 144 = 1 \cdot 1296$

Schritt 3.1.1.3.3.3.2

Bewege $- 96 x$ .

$16 x^{2} - 9 y^{2} - 96 x + 144 = 1 \cdot 1296$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $1296$ mit $1$ .

$16 x^{2} - 9 y^{2} - 96 x + 144 = 1296$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $16 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 9 y^{2} - 96 x + 144 = 1296 - 16 x^{2}$

Schritt 4.1.2

Addiere $96 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 9 y^{2} + 144 = 1296 - 16 x^{2} + 96 x$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $144$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 9 y^{2} = 1296 - 16 x^{2} + 96 x - 144$

Schritt 4.1.4

Subtrahiere $144$ von $1296$ .

$- 9 y^{2} = - 16 x^{2} + 96 x + 1152$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $- 9 y^{2} = - 16 x^{2} + 96 x + 1152$ durch $- 9$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 9 y^{2} = - 16 x^{2} + 96 x + 1152$ durch $- 9$ .

$\frac{- 9 y^{2}}{- 9} = \frac{- 16 x^{2}}{- 9} + \frac{96 x}{- 9} + \frac{1152}{- 9}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 9$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 9 y^{2}}{- 9} = \frac{- 16 x^{2}}{- 9} + \frac{96 x}{- 9} + \frac{1152}{- 9}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{- 16 x^{2}}{- 9} + \frac{96 x}{- 9} + \frac{1152}{- 9}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y^{2} = \frac{16 x^{2}}{9} + \frac{96 x}{- 9} + \frac{1152}{- 9}$

Schritt 4.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $96$ und $- 9$ .

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Schritt 4.2.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $96 x$ heraus.

$y^{2} = \frac{16 x^{2}}{9} + \frac{3 (32 x)}{- 9} + \frac{1152}{- 9}$

Schritt 4.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 9$ heraus.

$y^{2} = \frac{16 x^{2}}{9} + \frac{3 (32 x)}{3 (- 3)} + \frac{1152}{- 9}$

Schritt 4.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} = \frac{16 x^{2}}{9} + \frac{3 (32 x)}{3 \cdot - 3} + \frac{1152}{- 9}$

Schritt 4.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = \frac{16 x^{2}}{9} + \frac{32 x}{- 3} + \frac{1152}{- 9}$

Schritt 4.2.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = \frac{16 x^{2}}{9} - \frac{32 x}{3} + \frac{1152}{- 9}$

Schritt 4.2.3.1.4

Dividiere $1152$ durch $- 9$ .

$y^{2} = \frac{16 x^{2}}{9} - \frac{32 x}{3} - 128$

Schritt 4.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x^{2}}{9} - \frac{32 x}{3} - 128}$

Schritt 4.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{16 x^{2}}{9} - \frac{32 x}{3} - 128}$ .

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Schritt 4.4.1

Um $- \frac{32 x}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x^{2}}{9} - \frac{32 x}{3} \cdot \frac{3}{3} - 128}$

Schritt 4.4.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.4.2.1

Mutltipliziere $\frac{32 x}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x^{2}}{9} - \frac{32 x \cdot 3}{3 \cdot 3} - 128}$

Schritt 4.4.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x^{2}}{9} - \frac{32 x \cdot 3}{9} - 128}$

Schritt 4.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x^{2} - 32 x \cdot 3}{9} - 128}$

Schritt 4.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.4.1

Faktorisiere $16 x$ aus $16 x^{2} - 32 x \cdot 3$ heraus.

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Schritt 4.4.4.1.1

Faktorisiere $16 x$ aus $16 x^{2}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x (x) - 32 x \cdot 3}{9} - 128}$

Schritt 4.4.4.1.2

Faktorisiere $16 x$ aus $- 32 x \cdot 3$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x (x) + 16 x (- 2 \cdot 3)}{9} - 128}$

Schritt 4.4.4.1.3

Faktorisiere $16 x$ aus $16 x (x) + 16 x (- 2 \cdot 3)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x (x - 2 \cdot 3)}{9} - 128}$

Schritt 4.4.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x (x - 6)}{9} - 128}$

Schritt 4.4.5

Um $- 128$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x (x - 6)}{9} - 128 \cdot \frac{9}{9}}$

Schritt 4.4.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.4.6.1

Kombiniere $- 128$ und $\frac{9}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x (x - 6)}{9} + \frac{- 128 \cdot 9}{9}}$

Schritt 4.4.6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x (x - 6) - 128 \cdot 9}{9}}$

Schritt 4.4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.4.7.1

Faktorisiere $16$ aus $16 x (x - 6) - 128 \cdot 9$ heraus.

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Schritt 4.4.7.1.1

Faktorisiere $16$ aus $16 x (x - 6)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (x (x - 6)) - 128 \cdot 9}{9}}$

Schritt 4.4.7.1.2

Faktorisiere $16$ aus $- 128 \cdot 9$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (x (x - 6)) + 16 (- 8 \cdot 9)}{9}}$

Schritt 4.4.7.1.3

Faktorisiere $16$ aus $16 (x (x - 6)) + 16 (- 8 \cdot 9)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (x (x - 6) - 8 \cdot 9)}{9}}$

Schritt 4.4.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (x \cdot x + x \cdot - 6 - 8 \cdot 9)}{9}}$

Schritt 4.4.7.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (x^{2} + x \cdot - 6 - 8 \cdot 9)}{9}}$

Schritt 4.4.7.4

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (x^{2} - 6 \cdot x - 8 \cdot 9)}{9}}$

Schritt 4.4.7.5

Mutltipliziere $- 8$ mit $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (x^{2} - 6 x - 72)}{9}}$

Schritt 4.4.7.6

Faktorisiere $x^{2} - 6 x - 72$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.4.7.6.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 72$ und deren Summe $- 6$ ist.

$- 12, 6$

Schritt 4.4.7.6.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 ((x - 12) (x + 6))}{9}}$

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (x - 12) (x + 6)}{9}}$

Schritt 4.4.8

Schreibe $\frac{16 (x - 12) (x + 6)}{9}$ als ${(\frac{2^{2}}{3})}^{2} ((x - 12) (x + 6))$ um.

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Schritt 4.4.8.1

Faktorisiere die perfekte Potenz ${(2^{2})}^{2}$ aus $16 (x - 12) (x + 6)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((x - 12) (x + 6))}{9}}$

Schritt 4.4.8.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $3^{2}$ aus $9$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((x - 12) (x + 6))}{3^{2} \cdot 1}}$

Schritt 4.4.8.3

Ordne den Bruch $\frac{{(2^{2})}^{2} ((x - 12) (x + 6))}{3^{2} \cdot 1}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{3})}^{2} ((x - 12) (x + 6))}$

Schritt 4.4.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{2^{2}}{3} \sqrt{(x - 12) (x + 6)}$

Schritt 4.4.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \pm \frac{4}{3} \sqrt{(x - 12) (x + 6)}$

Schritt 4.4.11

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $\sqrt{(x - 12) (x + 6)}$ .

$y = \pm \frac{4 \sqrt{(x - 12) (x + 6)}}{3}$

Schritt 4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{4 \sqrt{(x - 12) (x + 6)}}{3}$

Schritt 4.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{4 \sqrt{(x - 12) (x + 6)}}{3}$

Schritt 4.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{4 \sqrt{(x - 12) (x + 6)}}{3}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(x - 12) (x + 6)}}{3}$

$y = \frac{4 \sqrt{(x - 12) (x + 6)}}{3}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(x - 12) (x + 6)}}{3}$

$y = \frac{4 \sqrt{(x - 12) (x + 6)}}{3}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(x - 12) (x + 6)}}{3}$

Schritt 5

Setze den Radikanden in $\sqrt{(x - 12) (x + 6)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x - 12) (x + 6) \geq 0$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 12 = 0$

$x + 6 = 0$

Schritt 6.2

Setze $x - 12$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Setze $x - 12$ gleich $0$ .

$x - 12 = 0$

Schritt 6.2.2

Addiere $12$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 12$

Schritt 6.3

Setze $x + 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Setze $x + 6$ gleich $0$ .

$x + 6 = 0$

Schritt 6.3.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 6$

Schritt 6.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 12) (x + 6) \geq 0$ wahr machen.

$x = 12, - 6$

Schritt 6.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 6$

$- 6 < x < 12$

$x > 12$

Schritt 6.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 6.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((- 8) - 12) ((- 8) + 6) \geq 0$

Schritt 6.6.1.3

Die linke Seite $40$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 6.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 6 < x < 12$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 6 < x < 12$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 6.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((0) - 12) ((0) + 6) \geq 0$

Schritt 6.6.2.3

Die linke Seite $- 72$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 6.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 12$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 12$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 14$

Schritt 6.6.3.2

Ersetze $x$ durch $14$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((14) - 12) ((14) + 6) \geq 0$

Schritt 6.6.3.3

Die linke Seite $40$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 6.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 6$ Wahr

$- 6 < x < 12$ Falsch

$x > 12$ Wahr

$x < - 6$ Wahr

$- 6 < x < 12$ Falsch

$x > 12$ Wahr

Schritt 6.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 6$ oder $x \geq 12$

Schritt 7

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 6] \cup [12, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq - 6, x \geq 12}$

Schritt 8