Lineare Algebra Beispiele

$\frac{2 x^{2} + 16 x + 30}{5 x^{2} + 13 x - 6}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{2 x^{2} + 16 x + 30}{5 x^{2} + 13 x - 6}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$5 x^{2} + 13 x - 6 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 5 \cdot - 6 = - 30$ und deren Summe gleich $b = 13$ ist.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $13$ aus $13 x$ heraus.

$5 x^{2} + 13 (x) - 6 = 0$

Schritt 2.1.1.2

Schreibe $13$ um als $- 2$ plus $15$

$5 x^{2} + (- 2 + 15) x - 6 = 0$

Schritt 2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 x^{2} - 2 x + 15 x - 6 = 0$

Schritt 2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(5 x^{2} - 2 x) + 15 x - 6 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (5 x - 2) + 3 (5 x - 2) = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 x - 2$ .

$(5 x - 2) (x + 3) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$5 x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 2.3

Setze $5 x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $5 x - 2$ gleich $0$ .

$5 x - 2 = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $5 x - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = 2$

Schritt 2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 2$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 2$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Schritt 2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Schritt 2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{5}$

Schritt 2.4

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(5 x - 2) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{2}{5}, - 3$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \frac{2}{5}) \cup (\frac{2}{5}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq \frac{2}{5}, - 3}$

Schritt 4