Lineare Algebra Beispiele

Bestimme den Schnittpunkt der Gerade, die senkrecht zur Ebene 1 steht und durch den Ursprung und Ebene 2 verläuft y=3x+2 , x-4y=9
,
Schritt 1
Subtrahiere von beiden Seiten der Gleichung.
Schritt 2
Um den Schnittpunkt der Geraden durch einen Punkt senkrecht zur Ebene und Ebene zu finden:
1. Finde die Normalvektoren von Ebene und Ebene , wobei die Normalvektoren und sind. Prüfe, ob das Skalarprodukt 0 ist.
2. Stelle einen Satz parametrischer Gleichungen auf, sodass , und .
3. Setze diese Gleichungen in die Gleichung für die Ebene ein, sodass und löse nach auf.
4. Löse die parametrischen Gleichungen , und unter Verwendung des Wertes von nach auf, um den Schnittpunkt zu finden.
Schritt 3
Ermittle die Normalenvektoren für jede Ebene und stelle fest, ob sie senkrecht zueinander sind durch Berechnung des Skalarprodukts.
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Schritt 3.1
ist . Finde den Normalvektor der Ebenengleichung der Form .
Schritt 3.2
ist . Finde den Normalvektor der Ebenengleichung der Form .
Schritt 3.3
Berechne das Skalarprodukt von und , durch Summieren der Produkte der entsprechenden , und Werte in den Normalvektoren.
Schritt 3.4
Vereinfache das Skalarprodukt.
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Schritt 3.4.1
Entferne die Klammern.
Schritt 3.4.2
Vereinfache jeden Term.
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Schritt 3.4.2.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.4.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.4.2.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 3.4.3
Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.
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Schritt 3.4.3.1
Subtrahiere von .
Schritt 3.4.3.2
Addiere und .
Schritt 4
Als Nächstes erzeuge einen Satz parametrischer Gleichungen , und unter Verwendung des Ursprungs für den Punkt und der Werte des Normalenvektors für die Werte von , und . Dieser Satz Parameterdarstellungen stellt die Gerade durch den Ursprung dar, die senkrecht auf steht.
Schritt 5
Setze den Ausdruck für , und in die Gleichung für , , ein.
Schritt 6
Löse die Gleichung nach auf.
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Schritt 6.1
Vereinfache .
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Schritt 6.1.1
Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in .
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Schritt 6.1.1.1
Subtrahiere von .
Schritt 6.1.1.2
Addiere und .
Schritt 6.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 6.1.3
Subtrahiere von .
Schritt 6.2
Teile jeden Ausdruck in durch und vereinfache.
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Schritt 6.2.1
Teile jeden Ausdruck in durch .
Schritt 6.2.2
Vereinfache die linke Seite.
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Schritt 6.2.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
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Schritt 6.2.2.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 6.2.2.1.2
Dividiere durch .
Schritt 6.2.3
Vereinfache die rechte Seite.
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Schritt 6.2.3.1
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 7
Löse die parametrischen Gleichungen nach , und auf durch Verwendung des Wertes von .
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Schritt 7.1
Löse die Gleichung nach auf.
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Schritt 7.1.1
Entferne die Klammern.
Schritt 7.1.2
Entferne die Klammern.
Schritt 7.1.3
Vereinfache .
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Schritt 7.1.3.1
Multipliziere .
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Schritt 7.1.3.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.1.3.1.2
Kombiniere und .
Schritt 7.1.3.1.3
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.1.3.2
Addiere und .
Schritt 7.2
Löse die Gleichung nach auf.
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Schritt 7.2.1
Entferne die Klammern.
Schritt 7.2.2
Entferne die Klammern.
Schritt 7.2.3
Vereinfache .
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Schritt 7.2.3.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.2.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 7.3
Löse die Gleichung nach auf.
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Schritt 7.3.1
Entferne die Klammern.
Schritt 7.3.2
Entferne die Klammern.
Schritt 7.3.3
Vereinfache .
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Schritt 7.3.3.1
Multipliziere .
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Schritt 7.3.3.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.3.3.1.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 7.3.3.2
Addiere und .
Schritt 7.4
Die gelösten parametrischen Gleichungen für , und .
Schritt 8
Die für , und berechneten Wertte anwenden, der Schnittpunkt ist .