Lineare Algebra Beispiele

$z^{4} - 21 z^{2} - 100 = 0$

Schritt 1

Setze $u = z^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} - 21 u - 100 = 0$

$u = z^{2}$

Schritt 2

Faktorisiere $u^{2} - 21 u - 100$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 100$ und deren Summe $- 21$ ist.

$- 25, 4$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 25) (u + 4) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 25 = 0$

$u + 4 = 0$

Schritt 4

Setze $u - 25$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $u - 25$ gleich $0$ .

$u - 25 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $25$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 25$

Schritt 5

Setze $u + 4$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $u + 4$ gleich $0$ .

$u + 4 = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 4$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 25) (u + 4) = 0$ wahr machen.

$u = 25, - 4$

Schritt 7

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = z^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$z^{2} = 25$

${(z^{2})}^{1} = - 4$

Schritt 8

Löse die erste Gleichung nach $z$ auf.

$z^{2} = 25$

Schritt 9

Löse die Gleichung nach $z$ auf.

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Schritt 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{25}$

Schritt 9.2

Vereinfache $\pm \sqrt{25}$ .

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Schritt 9.2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$z = \pm \sqrt{5^{2}}$

Schritt 9.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$z = \pm 5$

Schritt 9.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 9.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$z = 5$

Schritt 9.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$z = - 5$

Schritt 9.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$z = 5, - 5$

Schritt 10

Löse die zweite Gleichung nach $z$ auf.

${(z^{2})}^{1} = - 4$

Schritt 11

Löse die Gleichung nach $z$ auf.

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Schritt 11.1

Entferne die Klammern.

$z^{2} = - 4$

Schritt 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$z = \pm \sqrt{- 4}$

Schritt 11.3

Vereinfache $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Schritt 11.3.1

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$z = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Schritt 11.3.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$z = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Schritt 11.3.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$z = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Schritt 11.3.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$z = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Schritt 11.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$z = \pm i \cdot 2$

Schritt 11.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$z = \pm 2 i$

Schritt 11.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 11.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$z = 2 i$

Schritt 11.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$z = - 2 i$

Schritt 11.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$z = 2 i, - 2 i$

Schritt 12

Die Lösung von $z^{4} - 21 z^{2} - 100 = 0$ ist $z = 5, - 5, 2 i, - 2 i$ .

$z = 5, - 5, 2 i, - 2 i$

Schritt 13

Die Definitionsmenge ist die Menge aller gültigen $z$ -Werte.

${z | z = 5, - 5, 2 i, - 2 i}$

Schritt 14