Lineare Algebra Beispiele

$y^{2} - 6 y - 10 x - 56 = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 6$ und $c = - 10 x - 56$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 10 x - 56))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 10 x - 56)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (- 10 x - 56)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 (- 10 x) - 4 \cdot - 56}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 40 x - 4 \cdot - 56}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 56$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 40 x + 224}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6

Addiere $36$ und $224$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{40 x + 260}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.7

Faktorisiere $20$ aus $40 x + 260$ heraus.

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Schritt 3.1.7.1

Faktorisiere $20$ aus $40 x$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{20 (2 x) + 260}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.7.2

Faktorisiere $20$ aus $260$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{20 (2 x) + 20 (13)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.7.3

Faktorisiere $20$ aus $20 (2 x) + 20 (13)$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{20 (2 x + 13)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.8

Schreibe $20 (2 x + 13)$ als $2^{2} \cdot (5 (2 x + 13))$ um.

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Schritt 3.1.8.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (5) (2 x + 13)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (5 (2 x + 13))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.8.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (5 (2 x + 13))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{5 (2 x + 13)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{5 (2 x + 13)}}{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 2 \sqrt{5 (2 x + 13)}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{5 (2 x + 13)}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 10 x - 56)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (- 10 x - 56)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 (- 10 x) - 4 \cdot - 56}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 40 x - 4 \cdot - 56}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 56$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 40 x + 224}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6

Addiere $36$ und $224$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{40 x + 260}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.7

Faktorisiere $20$ aus $40 x + 260$ heraus.

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Schritt 4.1.7.1

Faktorisiere $20$ aus $40 x$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{20 (2 x) + 260}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.7.2

Faktorisiere $20$ aus $260$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{20 (2 x) + 20 (13)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.7.3

Faktorisiere $20$ aus $20 (2 x) + 20 (13)$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{20 (2 x + 13)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.8

Schreibe $20 (2 x + 13)$ als $2^{2} \cdot (5 (2 x + 13))$ um.

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Schritt 4.1.8.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (5) (2 x + 13)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (5 (2 x + 13))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.8.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (5 (2 x + 13))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{5 (2 x + 13)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{5 (2 x + 13)}}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 2 \sqrt{5 (2 x + 13)}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{5 (2 x + 13)}$

Schritt 4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = 3 + \sqrt{5 (2 x + 13)}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 10 x - 56)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (- 10 x - 56)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 (- 10 x) - 4 \cdot - 56}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 40 x - 4 \cdot - 56}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 56$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 40 x + 224}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6

Addiere $36$ und $224$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{40 x + 260}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.7

Faktorisiere $20$ aus $40 x + 260$ heraus.

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Schritt 5.1.7.1

Faktorisiere $20$ aus $40 x$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{20 (2 x) + 260}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.7.2

Faktorisiere $20$ aus $260$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{20 (2 x) + 20 (13)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.7.3

Faktorisiere $20$ aus $20 (2 x) + 20 (13)$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{20 (2 x + 13)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.8

Schreibe $20 (2 x + 13)$ als $2^{2} \cdot (5 (2 x + 13))$ um.

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Schritt 5.1.8.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (5) (2 x + 13)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (5 (2 x + 13))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.8.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (5 (2 x + 13))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{5 (2 x + 13)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{5 (2 x + 13)}}{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{6 \pm 2 \sqrt{5 (2 x + 13)}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{5 (2 x + 13)}$

Schritt 5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = 3 - \sqrt{5 (2 x + 13)}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = 3 + \sqrt{5 (2 x + 13)}$

$y = 3 - \sqrt{5 (2 x + 13)}$

Schritt 7

Setze den Radikanden in $\sqrt{5 (2 x + 13)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$5 (2 x + 13) \geq 0$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $5 (2 x + 13) \geq 0$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Teile jeden Ausdruck in $5 (2 x + 13) \geq 0$ durch $5$ .

$\frac{5 (2 x + 13)}{5} \geq \frac{0}{5}$

Schritt 8.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 8.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (2 x + 13)}{5} \geq \frac{0}{5}$

Schritt 8.1.2.1.2

Dividiere $2 x + 13$ durch $1$ .

$2 x + 13 \geq \frac{0}{5}$

Schritt 8.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.1.3.1

Dividiere $0$ durch $5$ .

$2 x + 13 \geq 0$

Schritt 8.2

Subtrahiere $13$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$2 x \geq - 13$

Schritt 8.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq - 13$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq - 13$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 13}{2}$

Schritt 8.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 13}{2}$

Schritt 8.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{- 13}{2}$

Schritt 8.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x \geq - \frac{13}{2}$

Schritt 9

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- \frac{13}{2}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq - \frac{13}{2}}$

Schritt 10