Lineare Algebra Beispiele

$y^{2} - 4 x + 4 y - 4 = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 4$ und $c = - 4 x - 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 4 x - 4))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 x - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 4 x - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 4 x) - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 16 x - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 16 x + 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6

Addiere $16$ und $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x + 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.7

Faktorisiere $16$ aus $16 x + 32$ heraus.

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Schritt 3.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $16 x$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (x) + 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.7.2

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x + 16 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.7.3

Faktorisiere $16$ aus $16 x + 16 \cdot 2$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.8

Schreibe $16 (x + 2)$ als ${(2^{2})}^{2} (x + 2)$ um.

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Schritt 3.1.8.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} (x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x + 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x + 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x + 2}}{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x + 2}}{2}$ .

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x + 2}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 x - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 4 x - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 4 x) - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 16 x - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 16 x + 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6

Addiere $16$ und $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x + 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.7

Faktorisiere $16$ aus $16 x + 32$ heraus.

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Schritt 4.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $16 x$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (x) + 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.7.2

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x + 16 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.7.3

Faktorisiere $16$ aus $16 x + 16 \cdot 2$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.8

Schreibe $16 (x + 2)$ als ${(2^{2})}^{2} (x + 2)$ um.

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Schritt 4.1.8.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} (x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x + 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x + 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x + 2}}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x + 2}}{2}$ .

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x + 2}$

Schritt 4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = - 2 + 2 \sqrt{x + 2}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot (- 4 x - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot (- 4 x - 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (- 4 x) - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 16 x - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 16 x + 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6

Addiere $16$ und $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x + 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.7

Faktorisiere $16$ aus $16 x + 32$ heraus.

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Schritt 5.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $16 x$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (x) + 32}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.7.2

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x + 16 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.7.3

Faktorisiere $16$ aus $16 x + 16 \cdot 2$ heraus.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 (x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.8

Schreibe $16 (x + 2)$ als ${(2^{2})}^{2} (x + 2)$ um.

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Schritt 5.1.8.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} (x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x + 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x + 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x + 2}}{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x + 2}}{2}$ .

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x + 2}$

Schritt 5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = - 2 - 2 \sqrt{x + 2}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - 2 + 2 \sqrt{x + 2}$

$y = - 2 - 2 \sqrt{x + 2}$

Schritt 7

Setze den Radikanden in $\sqrt{x + 2}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 2 \geq 0$

Schritt 8

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq - 2$

Schritt 9

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- 2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq - 2}$

Schritt 10