Lineare Algebra Beispiele

$x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 x - 6361 = 0$

Schritt 1

Addiere $- 2 x$ und $4 x$ .

$x^{2} + y^{2} + 2 x - 6361 = 0$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} + 2 x - 6361 = - x^{2}$

Schritt 2.2

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - 6361 = - x^{2} - 2 x$

Schritt 2.3

Addiere $6361$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} = - x^{2} - 2 x + 6361$

Schritt 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} - 2 x + 6361}$

Schritt 4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{- x^{2} - 2 x + 6361}$

Schritt 4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{- x^{2} - 2 x + 6361}$

Schritt 4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{- x^{2} - 2 x + 6361}$

$y = - \sqrt{- x^{2} - 2 x + 6361}$

$y = \sqrt{- x^{2} - 2 x + 6361}$

$y = - \sqrt{- x^{2} - 2 x + 6361}$

Schritt 5

Setze den Radikanden in $\sqrt{- x^{2} - 2 x + 6361}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- x^{2} - 2 x + 6361 \geq 0$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$- x^{2} - 2 x + 6361 = 0$

Schritt 6.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 6.3

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = - 2$ und $c = 6361$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 6361)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.4

Vereinfache.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot 6361}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot 6361$ .

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Schritt 6.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 6361}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.4.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $6361$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 25444}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.4.1.3

Addiere $4$ und $25444$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{25448}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.4.1.4

Schreibe $25448$ als $2^{2} \cdot 6362$ um.

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Schritt 6.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $25448$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (6362)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6362}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{6362}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{6362}}{- 2}$

Schritt 6.4.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{6362}}{- 2}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{6362}}{- 1}$

Schritt 6.4.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{1 \pm \sqrt{6362}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (1 \pm \sqrt{6362})$

Schritt 6.4.5

Schreibe $- 1 \cdot (1 \pm \sqrt{6362})$ als $- (1 \pm \sqrt{6362})$ um.

$x = - (1 \pm \sqrt{6362})$

Schritt 6.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot 6361}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot 6361$ .

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Schritt 6.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 6361}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.5.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $6361$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 25444}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.5.1.3

Addiere $4$ und $25444$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{25448}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.5.1.4

Schreibe $25448$ als $2^{2} \cdot 6362$ um.

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Schritt 6.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $25448$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (6362)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6362}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{6362}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{6362}}{- 2}$

Schritt 6.5.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{6362}}{- 2}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{6362}}{- 1}$

Schritt 6.5.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{1 \pm \sqrt{6362}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (1 \pm \sqrt{6362})$

Schritt 6.5.5

Schreibe $- 1 \cdot (1 \pm \sqrt{6362})$ als $- (1 \pm \sqrt{6362})$ um.

$x = - (1 \pm \sqrt{6362})$

Schritt 6.5.6

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - (1 + \sqrt{6362})$

Schritt 6.5.7

Wende das Distributivgesetz an.

$x = - 1 \cdot 1 - \sqrt{6362}$

Schritt 6.5.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x = - 1 - \sqrt{6362}$

Schritt 6.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.6.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot 6361}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot 6361$ .

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Schritt 6.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 6361}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.6.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $6361$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 25444}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.6.1.3

Addiere $4$ und $25444$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{25448}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.6.1.4

Schreibe $25448$ als $2^{2} \cdot 6362$ um.

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Schritt 6.6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $25448$ heraus.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (6362)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6362}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{6362}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 6.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{6362}}{- 2}$

Schritt 6.6.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{6362}}{- 2}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{6362}}{- 1}$

Schritt 6.6.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{1 \pm \sqrt{6362}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (1 \pm \sqrt{6362})$

Schritt 6.6.5

Schreibe $- 1 \cdot (1 \pm \sqrt{6362})$ als $- (1 \pm \sqrt{6362})$ um.

$x = - (1 \pm \sqrt{6362})$

Schritt 6.6.6

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - (1 - \sqrt{6362})$

Schritt 6.6.7

Wende das Distributivgesetz an.

$x = - 1 \cdot 1 + \sqrt{6362}$

Schritt 6.6.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x = - 1 + \sqrt{6362}$

Schritt 6.6.9

Multipliziere $- - \sqrt{6362}$ .

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Schritt 6.6.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = - 1 + 1 \sqrt{6362}$

Schritt 6.6.9.2

Mutltipliziere $\sqrt{6362}$ mit $1$ .

$x = - 1 + \sqrt{6362}$

Schritt 6.7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - 1 - \sqrt{6362}, - 1 + \sqrt{6362}$

Schritt 6.8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 1 - \sqrt{6362}$

$- 1 - \sqrt{6362} < x < - 1 + \sqrt{6362}$

$x > - 1 + \sqrt{6362}$

Schritt 6.9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 1 - \sqrt{6362}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 1 - \sqrt{6362}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 83$

Schritt 6.9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 83$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- {(- 83)}^{2} - 2 \cdot - 83 + 6361 \geq 0$

Schritt 6.9.1.3

Die linke Seite $- 362$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.9.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1 - \sqrt{6362} < x < - 1 + \sqrt{6362}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 - \sqrt{6362} < x < - 1 + \sqrt{6362}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 6.9.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 6361 \geq 0$

Schritt 6.9.2.3

Die linke Seite $6361$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 6.9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > - 1 + \sqrt{6362}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > - 1 + \sqrt{6362}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 81$

Schritt 6.9.3.2

Ersetze $x$ durch $81$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- {(81)}^{2} - 2 \cdot 81 + 6361 \geq 0$

Schritt 6.9.3.3

Die linke Seite $- 362$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 6.9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 1 - \sqrt{6362}$ Falsch

$- 1 - \sqrt{6362} < x < - 1 + \sqrt{6362}$ Wahr

$x > - 1 + \sqrt{6362}$ Falsch

$x < - 1 - \sqrt{6362}$ Falsch

$- 1 - \sqrt{6362} < x < - 1 + \sqrt{6362}$ Wahr

$x > - 1 + \sqrt{6362}$ Falsch

Schritt 6.10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 1 - \sqrt{6362} \leq x \leq - 1 + \sqrt{6362}$

Schritt 7

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- 1 - \sqrt{6362}, - 1 + \sqrt{6362}]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 1 - \sqrt{6362} \leq x \leq - 1 + \sqrt{6362}}$

Schritt 8