Lineare Algebra Beispiele

$x^{8} + 80 x^{4} - 81 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe $x^{8}$ als ${(x^{4})}^{2}$ um.

${(x^{4})}^{2} + 80 x^{4} - 81 = 0$

Schritt 1.2

Es sei $u = x^{4}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{4}$ .

$u^{2} + 80 u - 81 = 0$

Schritt 1.3

Faktorisiere $u^{2} + 80 u - 81$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 81$ und deren Summe $80$ ist.

$- 1, 81$

Schritt 1.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 1) (u + 81) = 0$

Schritt 1.4

Ersetze alle $u$ durch $x^{4}$ .

$(x^{4} - 1) (x^{4} + 81) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{4} - 1 = 0$

$x^{4} + 81 = 0$

Schritt 3

Setze $x^{4} - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $x^{4} - 1$ gleich $0$ .

$x^{4} - 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse $x^{4} - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} = 1$

Schritt 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{1}$

Schritt 3.2.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 3.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 3.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 3.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 4

Setze $x^{4} + 81$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x^{4} + 81$ gleich $0$ .

$x^{4} + 81 = 0$

Schritt 4.2

Löse $x^{4} + 81 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $81$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{4} = - 81$

Schritt 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{- 81}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache $\pm \sqrt[4]{- 81}$ .

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Schritt 4.2.3.1

Schreibe $- 81$ als $3^{4} \cdot - 1$ um.

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Schritt 4.2.3.1.1

Faktorisiere $81$ aus $- 81$ heraus.

$x = \pm \sqrt[4]{81 (- 1)}$

Schritt 4.2.3.1.2

Schreibe $81$ als $3^{4}$ um.

$x = \pm \sqrt[4]{3^{4} \cdot - 1}$

Schritt 4.2.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm 3 \sqrt[4]{- 1}$

Schritt 4.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3 \sqrt[4]{- 1}$

Schritt 4.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3 \sqrt[4]{- 1}$

Schritt 4.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3 \sqrt[4]{- 1}, - 3 \sqrt[4]{- 1}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x^{4} - 1) (x^{4} + 81) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - 1, 3 \sqrt[4]{- 1}, - 3 \sqrt[4]{- 1}$

Schritt 6

Die Definitionsmenge ist die Menge aller gültigen $x$ -Werte.

${x | x = 1, - 1, 3 \sqrt[4]{- 1}, - 3 \sqrt[4]{- 1}}$

Schritt 7