Lineare Algebra Beispiele

$- 16 x^{2} + 9 y^{2} - 144 = 0$

Schritt 1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $16 x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 y^{2} - 144 = 16 x^{2}$

Schritt 1.2

Addiere $144$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 y^{2} = 16 x^{2} + 144$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $9 y^{2} = 16 x^{2} + 144$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 y^{2} = 16 x^{2} + 144$ durch $9$ .

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{16 x^{2}}{9} + \frac{144}{9}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{16 x^{2}}{9} + \frac{144}{9}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{16 x^{2}}{9} + \frac{144}{9}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Dividiere $144$ durch $9$ .

$y^{2} = \frac{16 x^{2}}{9} + 16$

Schritt 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 x^{2}}{9} + 16}$

Schritt 4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{16 x^{2}}{9} + 16}$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $16$ aus $\frac{16 x^{2}}{9} + 16$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $16$ aus $\frac{16 x^{2}}{9}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{16 \frac{x^{2}}{9} + 16}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $16$ aus $16$ heraus.

$y = \pm \sqrt{16 \frac{x^{2}}{9} + 16 (1)}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $16$ aus $16 \frac{x^{2}}{9} + 16 (1)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{16 (\frac{x^{2}}{9} + 1)}$

Schritt 4.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{16 (\frac{x^{2}}{9} + \frac{9}{9})}$

Schritt 4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{16 \frac{x^{2} + 9}{9}}$

Schritt 4.4

Kombiniere $16$ und $\frac{x^{2} + 9}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (x^{2} + 9)}{9}}$

Schritt 4.5

Schreibe $\frac{16 (x^{2} + 9)}{9}$ als ${(\frac{2^{2}}{3})}^{2} (x^{2} + 9)$ um.

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere die perfekte Potenz ${(2^{2})}^{2}$ aus $16 (x^{2} + 9)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} (x^{2} + 9)}{9}}$

Schritt 4.5.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $3^{2}$ aus $9$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} (x^{2} + 9)}{3^{2} \cdot 1}}$

Schritt 4.5.3

Ordne den Bruch $\frac{{(2^{2})}^{2} (x^{2} + 9)}{3^{2} \cdot 1}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{3})}^{2} (x^{2} + 9)}$

Schritt 4.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{2^{2}}{3} \sqrt{x^{2} + 9}$

Schritt 4.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \pm \frac{4}{3} \sqrt{x^{2} + 9}$

Schritt 4.8

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $\sqrt{x^{2} + 9}$ .

$y = \pm \frac{4 \sqrt{x^{2} + 9}}{3}$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{4 \sqrt{x^{2} + 9}}{3}$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{4 \sqrt{x^{2} + 9}}{3}$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{4 \sqrt{x^{2} + 9}}{3}$

$y = - \frac{4 \sqrt{x^{2} + 9}}{3}$

$y = \frac{4 \sqrt{x^{2} + 9}}{3}$

$y = - \frac{4 \sqrt{x^{2} + 9}}{3}$

Schritt 6

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{2} + 9}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} + 9 \geq 0$

Schritt 7

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} \geq - 9$

Schritt 7.2

Da die linke Seite eine gerade Potenz aufweist, ist sie immer positiv für alle reellen Zahlen.

Alle reellen Zahlen

Schritt 8

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 9