Lineare Algebra Beispiele

$16 x^{2} + 25 y^{2} + 32 x^{2} - 100 y - 284 = 0$

Schritt 1

Addiere $16 x^{2}$ und $32 x^{2}$ .

$48 x^{2} + 25 y^{2} - 100 y - 284 = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 25$ , $b = - 100$ und $c = 48 x^{2} - 284$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{100 \pm \sqrt{{(- 100)}^{2} - 4 \cdot (25 \cdot (48 x^{2} - 284))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 100$ mit $2$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 25 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $25$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 (48 x^{2}) - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $48$ mit $- 100$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $- 100$ mit $- 284$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} + 28400}}{2 \cdot 25}$

Schritt 4.1.6

Addiere $10000$ und $28400$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{- 4800 x^{2} + 38400}}{2 \cdot 25}$

Schritt 4.1.7

Faktorisiere $4800$ aus $- 4800 x^{2} + 38400$ heraus.

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Schritt 4.1.7.1

Faktorisiere $4800$ aus $- 4800 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 38400}}{2 \cdot 25}$

Schritt 4.1.7.2

Faktorisiere $4800$ aus $38400$ heraus.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 4800 (8)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 4.1.7.3

Faktorisiere $4800$ aus $4800 (- x^{2}) + 4800 (8)$ heraus.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 4.1.8

Schreibe $4800 (- x^{2} + 8)$ als $40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))$ um.

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Schritt 4.1.8.1

Faktorisiere $1600$ aus $4800$ heraus.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{1600 (3) (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 4.1.8.2

Schreibe $1600$ als $40^{2}$ um.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 4.1.8.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 4.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$ .

$y = \frac{10 \pm 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 100$ mit $2$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 25 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $25$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 (48 x^{2}) - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

Schritt 5.1.4

Mutltipliziere $48$ mit $- 100$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

Schritt 5.1.5

Mutltipliziere $- 100$ mit $- 284$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} + 28400}}{2 \cdot 25}$

Schritt 5.1.6

Addiere $10000$ und $28400$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{- 4800 x^{2} + 38400}}{2 \cdot 25}$

Schritt 5.1.7

Faktorisiere $4800$ aus $- 4800 x^{2} + 38400$ heraus.

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Schritt 5.1.7.1

Faktorisiere $4800$ aus $- 4800 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 38400}}{2 \cdot 25}$

Schritt 5.1.7.2

Faktorisiere $4800$ aus $38400$ heraus.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 4800 (8)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 5.1.7.3

Faktorisiere $4800$ aus $4800 (- x^{2}) + 4800 (8)$ heraus.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 5.1.8

Schreibe $4800 (- x^{2} + 8)$ als $40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))$ um.

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Schritt 5.1.8.1

Faktorisiere $1600$ aus $4800$ heraus.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{1600 (3) (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 5.1.8.2

Schreibe $1600$ als $40^{2}$ um.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 5.1.8.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 5.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$ .

$y = \frac{10 \pm 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Schritt 5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{10 + 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Schritt 5.5

Faktorisiere $2$ aus $10 + 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}$ heraus.

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$y = \frac{2 (5) + 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Schritt 5.5.2

Faktorisiere $2$ aus $4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}$ heraus.

$y = \frac{2 (5) + 2 (2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

Schritt 5.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (5) + 2 (2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})$ heraus.

$y = \frac{2 (5 + 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 100$ mit $2$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4 \cdot 25 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $25$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 \cdot (48 x^{2} - 284)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 100 (48 x^{2}) - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $48$ mit $- 100$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} - 100 \cdot - 284}}{2 \cdot 25}$

Schritt 6.1.5

Mutltipliziere $- 100$ mit $- 284$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{10000 - 4800 x^{2} + 28400}}{2 \cdot 25}$

Schritt 6.1.6

Addiere $10000$ und $28400$ .

$y = \frac{100 \pm \sqrt{- 4800 x^{2} + 38400}}{2 \cdot 25}$

Schritt 6.1.7

Faktorisiere $4800$ aus $- 4800 x^{2} + 38400$ heraus.

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Schritt 6.1.7.1

Faktorisiere $4800$ aus $- 4800 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 38400}}{2 \cdot 25}$

Schritt 6.1.7.2

Faktorisiere $4800$ aus $38400$ heraus.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2}) + 4800 (8)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 6.1.7.3

Faktorisiere $4800$ aus $4800 (- x^{2}) + 4800 (8)$ heraus.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{4800 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 6.1.8

Schreibe $4800 (- x^{2} + 8)$ als $40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))$ um.

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Schritt 6.1.8.1

Faktorisiere $1600$ aus $4800$ heraus.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{1600 (3) (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 6.1.8.2

Schreibe $1600$ als $40^{2}$ um.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 6.1.8.3

Füge Klammern hinzu.

$y = \frac{100 \pm \sqrt{40^{2} \cdot (3 (- x^{2} + 8))}}{2 \cdot 25}$

Schritt 6.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{2 \cdot 25}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$y = \frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{100 \pm 40 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{50}$ .

$y = \frac{10 \pm 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Schritt 6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{10 - 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Schritt 6.5

Faktorisiere $2$ aus $10 - 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}$ heraus.

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Schritt 6.5.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$y = \frac{2 (5) - 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}}{5}$

Schritt 6.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)}$ heraus.

$y = \frac{2 (5) + 2 (- 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

Schritt 6.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (5) + 2 (- 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})$ heraus.

$y = \frac{2 (5 - 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

Schritt 7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{2 (5 + 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

$y = \frac{2 (5 - 2 \sqrt{3 (- x^{2} + 8)})}{5}$

Schritt 8

Setze den Radikanden in $\sqrt{3 (- x^{2} + 8)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 (- x^{2} + 8) \geq 0$

Schritt 9

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (- x^{2} + 8) \geq 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 9.1.1

Teile jeden Ausdruck in $3 (- x^{2} + 8) \geq 0$ durch $3$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 8)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Schritt 9.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- x^{2} + 8)}{3} \geq \frac{0}{3}$

Schritt 9.1.2.1.2

Dividiere $- x^{2} + 8$ durch $1$ .

$- x^{2} + 8 \geq \frac{0}{3}$

Schritt 9.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.1.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$- x^{2} + 8 \geq 0$

Schritt 9.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x^{2} \geq - 8$

Schritt 9.3

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} \geq - 8$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Teile jeden Term in $- x^{2} \geq - 8$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 9.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 9.3.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 9.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.3.1

Dividiere $- 8$ durch $- 1$ .

$x^{2} \leq 8$

Schritt 9.4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{8}$

Schritt 9.5

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 9.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.5.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq \sqrt{8}$

Schritt 9.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.5.2.1

Vereinfache $\sqrt{8}$ .

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Schritt 9.5.2.1.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 9.5.2.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$| x | \leq \sqrt{4 (2)}$

Schritt 9.5.2.1.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$| x | \leq \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Schritt 9.5.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \leq | 2 | \sqrt{2}$

Schritt 9.5.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$| x | \leq 2 \sqrt{2}$

Schritt 9.6

Schreibe $| x | \leq 2 \sqrt{2}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 9.6.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 9.6.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \leq 2 \sqrt{2}$

Schritt 9.6.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 9.6.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \leq 2 \sqrt{2}$

Schritt 9.6.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \leq 2 \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq 2 \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Schritt 9.7

Bestimme die Schnittmenge von $x \leq 2 \sqrt{2}$ und $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 2 \sqrt{2}$

Schritt 9.8

Löse $- x \leq 2 \sqrt{2}$ , wenn $x < 0$ ergibt.

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Schritt 9.8.1

Teile jeden Ausdruck in $- x \leq 2 \sqrt{2}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 9.8.1.1

Teile jeden Term in $- x \leq 2 \sqrt{2}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 9.8.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.8.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 9.8.1.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Schritt 9.8.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.8.1.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot (2 \sqrt{2})$

Schritt 9.8.1.3.2

Schreibe $- 1 \cdot (2 \sqrt{2})$ als $- (2 \sqrt{2})$ um.

$x \geq - (2 \sqrt{2})$

Schritt 9.8.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x \geq - 2 \sqrt{2}$

Schritt 9.8.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq - 2 \sqrt{2}$ und $x < 0$ .

$- 2 \sqrt{2} \leq x < 0$

Schritt 9.9

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}$

Schritt 10

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}}$

Schritt 11