Lineare Algebra Beispiele

$- 16 x^{2} + y^{2} - 32 x - 14 y + 17 = 0$

Schritt 1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 14$ und $c = - 16 x^{2} - 32 x + 17$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{14 \pm \sqrt{{(- 14)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 16 x^{2} - 32 x + 17))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.1

Potenziere $- 14$ mit $2$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 1 \cdot (- 16 x^{2} - 32 x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot (- 16 x^{2} - 32 x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 (- 16 x^{2}) - 4 (- 32 x) - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.4

Vereinfache.

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Schritt 3.1.4.1

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 4$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} - 4 (- 32 x) - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.4.2

Mutltipliziere $- 32$ mit $- 4$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} + 128 x - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.4.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $17$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} + 128 x - 68}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.5

Subtrahiere $68$ von $196$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 x^{2} + 128 x + 128}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6

Faktorisiere $64$ aus $64 x^{2} + 128 x + 128$ heraus.

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Schritt 3.1.6.1

Faktorisiere $64$ aus $64 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 128 x + 128}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6.2

Faktorisiere $64$ aus $128 x$ heraus.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (2 x) + 128}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6.3

Faktorisiere $64$ aus $128$ heraus.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 x^{2} + 64 (2 x) + 64 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6.4

Faktorisiere $64$ aus $64 x^{2} + 64 (2 x)$ heraus.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2} + 2 x) + 64 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.6.5

Faktorisiere $64$ aus $64 (x^{2} + 2 x) + 64 \cdot 2$ heraus.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2} + 2 x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.7

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{8^{2} (x^{2} + 2 x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache $\frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2}$ .

$y = 7 \pm 4 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 14$ mit $2$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 1 \cdot (- 16 x^{2} - 32 x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot (- 16 x^{2} - 32 x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 (- 16 x^{2}) - 4 (- 32 x) - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.1

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 4$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} - 4 (- 32 x) - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4.2

Mutltipliziere $- 32$ mit $- 4$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} + 128 x - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $17$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} + 128 x - 68}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5

Subtrahiere $68$ von $196$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 x^{2} + 128 x + 128}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6

Faktorisiere $64$ aus $64 x^{2} + 128 x + 128$ heraus.

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Schritt 4.1.6.1

Faktorisiere $64$ aus $64 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 128 x + 128}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.2

Faktorisiere $64$ aus $128 x$ heraus.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (2 x) + 128}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.3

Faktorisiere $64$ aus $128$ heraus.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 x^{2} + 64 (2 x) + 64 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.4

Faktorisiere $64$ aus $64 x^{2} + 64 (2 x)$ heraus.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2} + 2 x) + 64 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.6.5

Faktorisiere $64$ aus $64 (x^{2} + 2 x) + 64 \cdot 2$ heraus.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2} + 2 x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.7

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{8^{2} (x^{2} + 2 x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2}$ .

$y = 7 \pm 4 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$

Schritt 4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = 7 + 4 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 14$ mit $2$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot 1 \cdot (- 16 x^{2} - 32 x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 \cdot (- 16 x^{2} - 32 x + 17)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4 (- 16 x^{2}) - 4 (- 32 x) - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4

Vereinfache.

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Schritt 5.1.4.1

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 4$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} - 4 (- 32 x) - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4.2

Mutltipliziere $- 32$ mit $- 4$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} + 128 x - 4 \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.4.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $17$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{196 + 64 x^{2} + 128 x - 68}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.5

Subtrahiere $68$ von $196$ .

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 x^{2} + 128 x + 128}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6

Faktorisiere $64$ aus $64 x^{2} + 128 x + 128$ heraus.

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Schritt 5.1.6.1

Faktorisiere $64$ aus $64 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 128 x + 128}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.2

Faktorisiere $64$ aus $128 x$ heraus.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2}) + 64 (2 x) + 128}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.3

Faktorisiere $64$ aus $128$ heraus.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 x^{2} + 64 (2 x) + 64 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.4

Faktorisiere $64$ aus $64 x^{2} + 64 (2 x)$ heraus.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2} + 2 x) + 64 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.6.5

Faktorisiere $64$ aus $64 (x^{2} + 2 x) + 64 \cdot 2$ heraus.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{64 (x^{2} + 2 x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.7

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$y = \frac{14 \pm \sqrt{8^{2} (x^{2} + 2 x + 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{14 \pm 8 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}}{2}$ .

$y = 7 \pm 4 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$

Schritt 5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = 7 - 4 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = 7 + 4 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$

$y = 7 - 4 \sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$

Schritt 7

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{2} + 2 x + 2}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} + 2 x + 2 \geq 0$

Schritt 8

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$x^{2} + 2 x + 2 = 0$

Schritt 8.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 8.3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.4

Vereinfache.

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Schritt 8.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.4.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 8.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.4.1.3

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.4.1.4

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.4.1.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.4.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2}$

Schritt 8.4.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = - 1 \pm i$

Schritt 8.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 8.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.5.1.3

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.5.1.4

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.5.1.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2}$

Schritt 8.5.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = - 1 \pm i$

Schritt 8.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - 1 + i$

Schritt 8.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 8.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.6.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 8.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.1.3

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.1.4

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (4)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.1.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2}$

Schritt 8.6.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = - 1 \pm i$

Schritt 8.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - 1 - i$

Schritt 8.7

Identifiziere den Leitkoeffizienten.

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Schritt 8.7.1

Der Führungsterm in einem Polynom ist der Term mit dem höchsten Grad.

$x^{2}$

Schritt 8.7.2

Der Leitkoeffizient in einem Polynom ist der Koeffizient des Führungsterms.

$1$

Schritt 8.8

Da es keine reellen x-Achsenabschnitte gibt und der Leitkoeffizient positiv ist, ist die Parabel nach oben geöffnet und $x^{2} + 2 x + 2$ ist immer größer als $0$ .

Alle reellen Zahlen

Schritt 9

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 10