Lineare Algebra Beispiele

$\frac{5 x^{2} + 4}{2 x^{2} - 7}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{5 x^{2} + 4}{2 x^{2} - 7}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x^{2} - 7 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} = 7$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = 7$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = 7$ durch $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{7}{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{7}{2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{7}{2}$

Schritt 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{7}{2}}$

Schritt 2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{7}{2}}$ .

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Schritt 2.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{7}{2}}$ als $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 2.4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.4.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 2.4.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 2.4.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 2.4.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.4.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 2.4.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.4.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.4.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.4.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.4.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.4.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 2.4.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{\sqrt{7 \cdot 2}}{2}$

Schritt 2.4.4.2

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{14}}{2}$

Schritt 2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{14}}{2}$

Schritt 2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{14}}{2}$

Schritt 2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{14}}{2}, - \frac{\sqrt{14}}{2}$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{\sqrt{14}}{2}) \cup (- \frac{\sqrt{14}}{2}, \frac{\sqrt{14}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{14}}{2}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq \frac{\sqrt{14}}{2}, - \frac{\sqrt{14}}{2}}$

Schritt 4