Lineare Algebra Beispiele

$\frac{1}{49} x^{2} + \frac{1}{9} y^{2} = 1$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Kombiniere $\frac{1}{49}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{49} + \frac{1}{9} y^{2} = 1$

Schritt 1.2

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $y^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

Schritt 2

Subtrahiere $\frac{x^{2}}{49}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{2}}{9} = 1 - \frac{x^{2}}{49}$

Schritt 3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $9$ .

$9 \frac{y^{2}}{9} = 9 (1 - \frac{x^{2}}{49})$

Schritt 4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \frac{y^{2}}{9} = 9 (1 - \frac{x^{2}}{49})$

Schritt 4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 9 (1 - \frac{x^{2}}{49})$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $9 (1 - \frac{x^{2}}{49})$ .

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Schritt 4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 9 \cdot 1 + 9 (- \frac{x^{2}}{49})$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$y^{2} = 9 + 9 (- \frac{x^{2}}{49})$

Schritt 4.2.1.3

Multipliziere $9 (- \frac{x^{2}}{49})$ .

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Schritt 4.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$y^{2} = 9 - 9 \frac{x^{2}}{49}$

Schritt 4.2.1.3.2

Kombiniere $- 9$ und $\frac{x^{2}}{49}$ .

$y^{2} = 9 + \frac{- 9 x^{2}}{49}$

Schritt 4.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = 9 - \frac{9 x^{2}}{49}$

Schritt 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{9 - \frac{9 x^{2}}{49}}$

Schritt 6

Vereinfache $\pm \sqrt{9 - \frac{9 x^{2}}{49}}$ .

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Schritt 6.1

Formuliere den Ausdruck mithilfe von Exponenten.

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Schritt 6.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{3^{2} - \frac{9 x^{2}}{49}}$

Schritt 6.1.2

Schreibe $\frac{9 x^{2}}{49}$ als ${(\frac{3 x}{7})}^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{3^{2} - {(\frac{3 x}{7})}^{2}}$

Schritt 6.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3$ und $b = \frac{3 x}{7}$ .

$y = \pm \sqrt{(3 + \frac{3 x}{7}) (3 - \frac{3 x}{7})}$

Schritt 6.3

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$y = \pm \sqrt{(3 \cdot \frac{7}{7} + \frac{3 x}{7}) (3 - \frac{3 x}{7})}$

Schritt 6.4

Kombiniere $3$ und $\frac{7}{7}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{3 \cdot 7}{7} + \frac{3 x}{7}) (3 - \frac{3 x}{7})}$

Schritt 6.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 \cdot 7 + 3 x}{7} (3 - \frac{3 x}{7})}$

Schritt 6.6

Faktorisiere $3$ aus $3 \cdot 7 + 3 x$ heraus.

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Schritt 6.6.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \cdot 7$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7) + 3 x}{7} (3 - \frac{3 x}{7})}$

Schritt 6.6.2

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7) + 3 (x)}{7} (3 - \frac{3 x}{7})}$

Schritt 6.6.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (7) + 3 (x)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} (3 - \frac{3 x}{7})}$

Schritt 6.7

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} (3 \cdot \frac{7}{7} - \frac{3 x}{7})}$

Schritt 6.8

Kombiniere $3$ und $\frac{7}{7}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} (\frac{3 \cdot 7}{7} - \frac{3 x}{7})}$

Schritt 6.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} \cdot \frac{3 \cdot 7 - 3 x}{7}}$

Schritt 6.10

Faktorisiere $3$ aus $3 \cdot 7 - 3 x$ heraus.

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Schritt 6.10.1

Faktorisiere $3$ aus $3 \cdot 7$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} \cdot \frac{3 (7) - 3 x}{7}}$

Schritt 6.10.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} \cdot \frac{3 (7) + 3 (- x)}{7}}$

Schritt 6.10.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (7) + 3 (- x)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x)}{7} \cdot \frac{3 (7 - x)}{7}}$

Schritt 6.11

Mutltipliziere $\frac{3 (7 + x)}{7}$ mit $\frac{3 (7 - x)}{7}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{3 (7 + x) (3 (7 - x))}{7 \cdot 7}}$

Schritt 6.12

Multipliziere.

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Schritt 6.12.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (7 + x) (7 - x)}{7 \cdot 7}}$

Schritt 6.12.2

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{9 (7 + x) (7 - x)}{49}}$

Schritt 6.13

Schreibe $\frac{9 (7 + x) (7 - x)}{49}$ als ${(\frac{3}{7})}^{2} ((7 + x) (7 - x))$ um.

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Schritt 6.13.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $3^{2}$ aus $9 (7 + x) (7 - x)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} ((7 + x) (7 - x))}{49}}$

Schritt 6.13.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $7^{2}$ aus $49$ heraus.

$y = \pm \sqrt{\frac{3^{2} ((7 + x) (7 - x))}{7^{2} \cdot 1}}$

Schritt 6.13.3

Ordne den Bruch $\frac{3^{2} ((7 + x) (7 - x))}{7^{2} \cdot 1}$ um.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{3}{7})}^{2} ((7 + x) (7 - x))}$

Schritt 6.14

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm \frac{3}{7} \sqrt{(7 + x) (7 - x)}$

Schritt 6.15

Kombiniere $\frac{3}{7}$ und $\sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ .

$y = \pm \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

Schritt 7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

Schritt 7.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

Schritt 7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

$y = - \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

$y = \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

$y = - \frac{3 \sqrt{(7 + x) (7 - x)}}{7}$

Schritt 8

Setze den Radikanden in $\sqrt{(7 + x) (7 - x)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(7 + x) (7 - x) \geq 0$

Schritt 9

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$7 + x = 0$

$7 - x = 0$

Schritt 9.2

Setze $7 + x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.2.1

Setze $7 + x$ gleich $0$ .

$7 + x = 0$

Schritt 9.2.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 7$

Schritt 9.3

Setze $7 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 9.3.1

Setze $7 - x$ gleich $0$ .

$7 - x = 0$

Schritt 9.3.2

Löse $7 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 9.3.2.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 7$

Schritt 9.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 7$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 9.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 7$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Schritt 9.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.3.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Schritt 9.3.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 1}$

Schritt 9.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.2.2.3.1

Dividiere $- 7$ durch $- 1$ .

$x = 7$

Schritt 9.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(7 + x) (7 - x) \geq 0$ wahr machen.

$x = - 7, 7$

Schritt 9.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 7$

$- 7 < x < 7$

$x > 7$

Schritt 9.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 10$

Schritt 9.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(7 - 10) (7 - (- 10)) \geq 0$

Schritt 9.6.1.3

Die linke Seite $- 51$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 7 < x < 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 7 < x < 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 9.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(7 + 0) (7 - (0)) \geq 0$

Schritt 9.6.2.3

Die linke Seite $49$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 10$

Schritt 9.6.3.2

Ersetze $x$ durch $10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(7 + 10) (7 - (10)) \geq 0$

Schritt 9.6.3.3

Die linke Seite $- 51$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 7$ Falsch

$- 7 < x < 7$ Wahr

$x > 7$ Falsch

$x < - 7$ Falsch

$- 7 < x < 7$ Wahr

$x > 7$ Falsch

Schritt 9.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 7 \leq x \leq 7$

Schritt 10

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- 7, 7]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 7 \leq x \leq 7}$

Schritt 11