Lineare Algebra Beispiele

$p^{2} + 2 q^{2} = 11$

Schritt 1

Subtrahiere $2 q^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$p^{2} = 11 - 2 q^{2}$

Schritt 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$p = \pm \sqrt{11 - 2 q^{2}}$

Schritt 3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$p = \sqrt{11 - 2 q^{2}}$

Schritt 3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$p = - \sqrt{11 - 2 q^{2}}$

Schritt 3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$p = \sqrt{11 - 2 q^{2}}$

$p = - \sqrt{11 - 2 q^{2}}$

$p = \sqrt{11 - 2 q^{2}}$

$p = - \sqrt{11 - 2 q^{2}}$

Schritt 4

Setze den Radikanden in $\sqrt{11 - 2 q^{2}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$11 - 2 q^{2} \geq 0$

Schritt 5

Löse nach $q$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $11$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 2 q^{2} \geq - 11$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 q^{2} \geq - 11$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Term in $- 2 q^{2} \geq - 11$ durch $- 2$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 2 q^{2}}{- 2} \leq \frac{- 11}{- 2}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 q^{2}}{- 2} \leq \frac{- 11}{- 2}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $q^{2}$ durch $1$ .

$q^{2} \leq \frac{- 11}{- 2}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$q^{2} \leq \frac{11}{2}$

Schritt 5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{q^{2}} \leq \sqrt{\frac{11}{2}}$

Schritt 5.4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| q | \leq \sqrt{\frac{11}{2}}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache $\sqrt{\frac{11}{2}}$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Schreibe $\sqrt{\frac{11}{2}}$ als $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{2}}$ um.

$| q | \leq \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{2}}$

Schritt 5.4.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| q | \leq \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 5.4.2.1.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.4.2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 5.4.2.1.3.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 5.4.2.1.3.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 5.4.2.1.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.4.2.1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 5.4.2.1.3.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 5.4.2.1.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.4.2.1.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.4.2.1.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.4.2.1.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.2.1.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.4.2.1.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 5.4.2.1.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$| q | \leq \frac{\sqrt{11} \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5.4.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.2.1.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$| q | \leq \frac{\sqrt{11 \cdot 2}}{2}$

Schritt 5.4.2.1.4.2

Mutltipliziere $11$ mit $2$ .

$| q | \leq \frac{\sqrt{22}}{2}$

Schritt 5.5

Schreibe $| q | \leq \frac{\sqrt{22}}{2}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 5.5.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$q \geq 0$

Schritt 5.5.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $q$ nicht negativ ist.

$q \leq \frac{\sqrt{22}}{2}$

Schritt 5.5.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$q < 0$

Schritt 5.5.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $q$ negativ ist.

$- q \leq \frac{\sqrt{22}}{2}$

Schritt 5.5.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} q \leq \frac{\sqrt{22}}{2} & q \geq 0 \\ - q \leq \frac{\sqrt{22}}{2} & q < 0 \end{cases}$

Schritt 5.6

Bestimme die Schnittmenge von $q \leq \frac{\sqrt{22}}{2}$ und $q \geq 0$ .

$0 \leq q \leq \frac{\sqrt{22}}{2}$

Schritt 5.7

Löse $- q \leq \frac{\sqrt{22}}{2}$ , wenn $q < 0$ ergibt.

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Schritt 5.7.1

Teile jeden Ausdruck in $- q \leq \frac{\sqrt{22}}{2}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.7.1.1

Teile jeden Term in $- q \leq \frac{\sqrt{22}}{2}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- q}{- 1} \geq \frac{\frac{\sqrt{22}}{2}}{- 1}$

Schritt 5.7.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.7.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{q}{1} \geq \frac{\frac{\sqrt{22}}{2}}{- 1}$

Schritt 5.7.1.2.2

Dividiere $q$ durch $1$ .

$q \geq \frac{\frac{\sqrt{22}}{2}}{- 1}$

Schritt 5.7.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.7.1.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{\sqrt{22}}{2}}{- 1}$ .

$q \geq - 1 \cdot \frac{\sqrt{22}}{2}$

Schritt 5.7.1.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \frac{\sqrt{22}}{2}$ als $- \frac{\sqrt{22}}{2}$ um.

$q \geq - \frac{\sqrt{22}}{2}$

Schritt 5.7.2

Bestimme die Schnittmenge von $q \geq - \frac{\sqrt{22}}{2}$ und $q < 0$ .

$- \frac{\sqrt{22}}{2} \leq q < 0$

Schritt 5.8

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- \frac{\sqrt{22}}{2} \leq q \leq \frac{\sqrt{22}}{2}$

Schritt 6

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $q$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- \frac{\sqrt{22}}{2}, \frac{\sqrt{22}}{2}]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${q | - \frac{\sqrt{22}}{2} \leq q \leq \frac{\sqrt{22}}{2}}$

Schritt 7