Lineare Algebra Beispiele

$\log_{2} (\sqrt[3]{\frac{2 + x}{4 x}})$

Schritt 1

Setze das Argument in $\log_{2} (\sqrt[3]{\frac{2 + x}{4 x}})$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$\sqrt[3]{\frac{2 + x}{4 x}} > 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

To remove the radical on the left side of the inequality, cube both sides of the inequality.

${\sqrt[3]{\frac{2 + x}{4 x}}}^{3} > 0^{3}$

Schritt 2.2

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{\frac{2 + x}{4 x}}$ als ${(\frac{2 + x}{4 x})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(\frac{2 + x}{4 x})}^{\frac{1}{3}})}^{3} > 0^{3}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache ${({(\frac{2 + x}{4 x})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(\frac{2 + x}{4 x})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{2 + x}{4 x})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > 0^{3}$

Schritt 2.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(\frac{2 + x}{4 x})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > 0^{3}$

Schritt 2.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(\frac{2 + x}{4 x})}^{1} > 0^{3}$

Schritt 2.2.2.1.2

Vereinfache.

$\frac{2 + x}{4 x} > 0^{3}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{2 + x}{4 x} > 0$

Schritt 2.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$4 x = 0$

$2 + x = 0$

Schritt 2.3.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 2.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x = 0$

Schritt 2.3.3

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.3.4

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = - 2$

Schritt 2.3.5

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, - 2$

Schritt 2.4

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt[3]{\frac{2 + x}{4 x}}$ .

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Schritt 2.4.1

Setze den Nenner in $\frac{2 + x}{4 x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$4 x = 0$

Schritt 2.4.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 2.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 2.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Schritt 2.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x = 0$

Schritt 2.4.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 2.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$x > 0$

Schritt 2.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 2.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt[3]{\frac{2 - 4}{4 (- 4)}} > 0$

Schritt 2.6.1.3

Die linke Seite $0.5$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 1$

Schritt 2.6.2.2

Ersetze $x$ durch $- 1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt[3]{\frac{2 - 1}{4 (- 1)}} > 0$

Schritt 2.6.2.3

Die linke Seite $- 0.62996052$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 2.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 2.6.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt[3]{\frac{2 + 2}{4 (2)}} > 0$

Schritt 2.6.3.3

Die linke Seite $0.79370052$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 0$ Falsch

$x > 0$ Wahr

$x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 0$ Falsch

$x > 0$ Wahr

Schritt 2.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 2$ oder $x > 0$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{2 + x}{4 x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$4 x = 0$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x = 0$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 2) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x < - 2, x > 0}$

Schritt 6