Lineare Algebra Beispiele

$\sqrt{\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x + 3}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x + 3}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x + 3} \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x^{2} + 7 x + 10 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x^{2} + 7 x + 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $10$ und deren Summe $7$ ist.

$2, 5$

Schritt 2.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + 2) (x + 5) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.5

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 2) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = - 2, - 5$

Schritt 2.7

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 2.8

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - 2, - 5$

$x = - 3$

Schritt 2.9

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - 2, - 5, - 3$

Schritt 2.10

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x + 3}$ .

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Schritt 2.10.1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x + 3}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 3 = 0$

Schritt 2.10.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 2.10.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, \infty)$

Schritt 2.11

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 5$

$- 5 < x < - 3$

$- 3 < x < - 2$

$x > - 2$

Schritt 2.12

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.12.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.12.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 2.12.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 8)}^{2} + 7 (- 8) + 10}{(- 8) + 3} \geq 0$

Schritt 2.12.1.3

Die linke Seite $- 3.6$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 2.12.2

Teste einen Wert im Intervall $- 5 < x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.12.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 5 < x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 2.12.2.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 4)}^{2} + 7 (- 4) + 10}{(- 4) + 3} \geq 0$

Schritt 2.12.2.3

Die linke Seite $2$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.12.3

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.12.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2.5$

Schritt 2.12.3.2

Ersetze $x$ durch $- 2.5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 2.5)}^{2} + 7 (- 2.5) + 10}{(- 2.5) + 3} \geq 0$

Schritt 2.12.3.3

Die linke Seite $- 2.5$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 2.12.4

Teste einen Wert im Intervall $x > - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.12.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 2.12.4.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(0)}^{2} + 7 (0) + 10}{(0) + 3} \geq 0$

Schritt 2.12.4.3

Die linke Seite $3.\overline{3}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 2.12.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 5$ Falsch

$- 5 < x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < - 2$ Falsch

$x > - 2$ Wahr

$x < - 5$ Falsch

$- 5 < x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < - 2$ Falsch

$x > - 2$ Wahr

Schritt 2.13

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 5 \leq x < - 3$ oder $x \geq - 2$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} + 7 x + 10}{x + 3}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 3 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- 5, - 3) \cup [- 2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 5 \leq x < - 3, x \geq - 2}$

Schritt 6