Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} a & - 2 b & 3 d \\ 4 a & b & - d \\ 2 a & - b & 3 d \end{array}]$

Schritt 1

Find the determinant.

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Schritt 1.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Schritt 1.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 1.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} b & - d \\ - b & 3 d \end{array} |$

Schritt 1.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$a | \begin{array}{c} b & - d \\ - b & 3 d \end{array} |$

Schritt 1.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 a & - d \\ 2 a & 3 d \end{array} |$

Schritt 1.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$2 b | \begin{array}{c} 4 a & - d \\ 2 a & 3 d \end{array} |$

Schritt 1.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

Schritt 1.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

Schritt 1.1.9

Add the terms together.

$a | \begin{array}{c} b & - d \\ - b & 3 d \end{array} | + 2 b | \begin{array}{c} 4 a & - d \\ 2 a & 3 d \end{array} | + 3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

Schritt 1.2

Berechne $| \begin{array}{c} b & - d \\ - b & 3 d \end{array} |$ .

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Schritt 1.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a (b (3 d) - (- b (- d))) + 2 b | \begin{array}{c} 4 a & - d \\ 2 a & 3 d \end{array} | + 3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a (3 b d - (- b (- d))) + 2 b | \begin{array}{c} 4 a & - d \\ 2 a & 3 d \end{array} | + 3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

Schritt 1.2.2.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a (3 b d - (- 1 \cdot - 1 b d)) + 2 b | \begin{array}{c} 4 a & - d \\ 2 a & 3 d \end{array} | + 3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

Schritt 1.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$a (3 b d - (1 b d)) + 2 b | \begin{array}{c} 4 a & - d \\ 2 a & 3 d \end{array} | + 3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

Schritt 1.2.2.1.4

Mutltipliziere $b$ mit $1$ .

$a (3 b d - b d) + 2 b | \begin{array}{c} 4 a & - d \\ 2 a & 3 d \end{array} | + 3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

Schritt 1.2.2.2

Subtrahiere $b d$ von $3 b d$ .

$a (2 b d) + 2 b | \begin{array}{c} 4 a & - d \\ 2 a & 3 d \end{array} | + 3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

Schritt 1.3

Berechne $| \begin{array}{c} 4 a & - d \\ 2 a & 3 d \end{array} |$ .

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Schritt 1.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a (2 b d) + 2 b (4 a (3 d) - 2 a (- d)) + 3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

Schritt 1.3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a (2 b d) + 2 b (4 \cdot 3 a d - 2 a (- d)) + 3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

Schritt 1.3.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$a (2 b d) + 2 b (12 a d - 2 a (- d)) + 3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

Schritt 1.3.2.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a (2 b d) + 2 b (12 a d - 2 \cdot - 1 a d) + 3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

Schritt 1.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$a (2 b d) + 2 b (12 a d + 2 a d) + 3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

Schritt 1.3.2.2

Addiere $12 a d$ und $2 a d$ .

$a (2 b d) + 2 b (14 a d) + 3 d | \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$

Schritt 1.4

Berechne $| \begin{array}{c} 4 a & b \\ 2 a & - b \end{array} |$ .

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Schritt 1.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a (2 b d) + 2 b (14 a d) + 3 d (4 a (- b) - 2 a b)$

Schritt 1.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a (2 b d) + 2 b (14 a d) + 3 d (4 \cdot - 1 a b - 2 a b)$

Schritt 1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$a (2 b d) + 2 b (14 a d) + 3 d (- 4 a b - 2 a b)$

Schritt 1.4.2.2

Subtrahiere $2 a b$ von $- 4 a b$ .

$a (2 b d) + 2 b (14 a d) + 3 d (- 6 a b)$

Schritt 1.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 a b d + 2 b (14 a d) + 3 d (- 6 a b)$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $14$ mit $2$ .

$2 a b d + 28 b (a d) + 3 d (- 6 a b)$

Schritt 1.5.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $3$ .

$2 a b d + 28 b a d - 18 d a b$

Schritt 1.5.2

Addiere $2 a b d$ und $28 b a d$ .

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Schritt 1.5.2.1

Bewege $b$ .

$2 a b d + 28 a b d - 18 d a b$

Schritt 1.5.2.2

Addiere $2 a b d$ und $28 a b d$ .

$30 a b d - 18 d a b$

Schritt 1.5.3

Subtrahiere $18 d a b$ von $30 a b d$ .

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Schritt 1.5.3.1

Bewege $d$ .

$30 a b d - 18 a b d$

Schritt 1.5.3.2

Subtrahiere $18 a b d$ von $30 a b d$ .

$12 a b d$

Schritt 2

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Schritt 3

Set up a $3 \times 6$ matrix where the left half is the original matrix and the right half is its identity matrix.

$[\begin{array}{c} a & - 2 b & 3 d & 1 & 0 & 0 \\ 4 a & b & - d & 0 & 1 & 0 \\ 2 a & - b & 3 d & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 4

Ermittele die normierte Zeilenstufenform.

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Schritt 4.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{a}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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Schritt 4.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{a}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{a}{a} & \frac{- 2 b}{a} & \frac{3 d}{a} & \frac{1}{a} & \frac{0}{a} & \frac{0}{a} \\ 4 a & b & - d & 0 & 1 & 0 \\ 2 a & - b & 3 d & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 4.1.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2 b}{a} & \frac{3 d}{a} & \frac{1}{a} & 0 & 0 \\ 4 a & b & - d & 0 & 1 & 0 \\ 2 a & - b & 3 d & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 4.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 4 a R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Schritt 4.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 4 a R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2 b}{a} & \frac{3 d}{a} & \frac{1}{a} & 0 & 0 \\ 4 a - 4 a \cdot 1 & b - 4 a (- \frac{2 b}{a}) & - d - 4 a \frac{3 d}{a} & 0 - 4 a \frac{1}{a} & 1 - 4 a \cdot 0 & 0 - 4 a \cdot 0 \\ 2 a & - b & 3 d & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2 b}{a} & \frac{3 d}{a} & \frac{1}{a} & 0 & 0 \\ 0 & 9 b & - 13 d & - 4 & 1 & 0 \\ 2 a & - b & 3 d & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 4.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 a R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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Schritt 4.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 2 a R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2 b}{a} & \frac{3 d}{a} & \frac{1}{a} & 0 & 0 \\ 0 & 9 b & - 13 d & - 4 & 1 & 0 \\ 2 a - 2 a \cdot 1 & - b - 2 a (- \frac{2 b}{a}) & 3 d - 2 a \frac{3 d}{a} & 0 - 2 a \frac{1}{a} & 0 - 2 a \cdot 0 & 1 - 2 a \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 4.3.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2 b}{a} & \frac{3 d}{a} & \frac{1}{a} & 0 & 0 \\ 0 & 9 b & - 13 d & - 4 & 1 & 0 \\ 0 & 3 b & - 3 d & - 2 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 4.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{9 b}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Schritt 4.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{9 b}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2 b}{a} & \frac{3 d}{a} & \frac{1}{a} & 0 & 0 \\ \frac{0}{9 b} & \frac{9 b}{9 b} & \frac{- 13 d}{9 b} & \frac{- 4}{9 b} & \frac{1}{9 b} & \frac{0}{9 b} \\ 0 & 3 b & - 3 d & - 2 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 4.4.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2 b}{a} & \frac{3 d}{a} & \frac{1}{a} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{13 d}{9 b} & - \frac{4}{9 b} & \frac{1}{9 b} & 0 \\ 0 & 3 b & - 3 d & - 2 & 0 & 1 \end{array}]$

Schritt 4.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 b R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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Schritt 4.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 b R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2 b}{a} & \frac{3 d}{a} & \frac{1}{a} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{13 d}{9 b} & - \frac{4}{9 b} & \frac{1}{9 b} & 0 \\ 0 - 3 b \cdot 0 & 3 b - 3 b \cdot 1 & - 3 d - 3 b (- \frac{13 d}{9 b}) & - 2 - 3 b (- \frac{4}{9 b}) & 0 - 3 b \frac{1}{9 b} & 1 - 3 b \cdot 0 \end{array}]$

Schritt 4.5.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2 b}{a} & \frac{3 d}{a} & \frac{1}{a} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{13 d}{9 b} & - \frac{4}{9 b} & \frac{1}{9 b} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{4 d}{3} & - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} & 1 \end{array}]$

Schritt 4.6

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{3}{4 d}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

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Schritt 4.6.1

Multiply each element of $R_{3}$ by $\frac{3}{4 d}$ to make the entry at $3, 3$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2 b}{a} & \frac{3 d}{a} & \frac{1}{a} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{13 d}{9 b} & - \frac{4}{9 b} & \frac{1}{9 b} & 0 \\ \frac{3}{4 d} \cdot 0 & \frac{3}{4 d} \cdot 0 & \frac{3}{4 d} \cdot \frac{4 d}{3} & \frac{3}{4 d} (- \frac{2}{3}) & \frac{3}{4 d} (- \frac{1}{3}) & \frac{3}{4 d} \cdot 1 \end{array}]$

Schritt 4.6.2

Vereinfache $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2 b}{a} & \frac{3 d}{a} & \frac{1}{a} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{13 d}{9 b} & - \frac{4}{9 b} & \frac{1}{9 b} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{2 d} & - \frac{1}{4 d} & \frac{3}{4 d} \end{array}]$

Schritt 4.7

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{13 d}{9 b} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

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Schritt 4.7.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} + \frac{13 d}{9 b} R_{3}$ to make the entry at $2, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2 b}{a} & \frac{3 d}{a} & \frac{1}{a} & 0 & 0 \\ 0 + \frac{13 d}{9 b} \cdot 0 & 1 + \frac{13 d}{9 b} \cdot 0 & - \frac{13 d}{9 b} + \frac{13 d}{9 b} \cdot 1 & - \frac{4}{9 b} + \frac{13 d}{9 b} (- \frac{1}{2 d}) & \frac{1}{9 b} + \frac{13 d}{9 b} (- \frac{1}{4 d}) & 0 + \frac{13 d}{9 b} \cdot \frac{3}{4 d} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{2 d} & - \frac{1}{4 d} & \frac{3}{4 d} \end{array}]$

Schritt 4.7.2

Vereinfache $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2 b}{a} & \frac{3 d}{a} & \frac{1}{a} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{7}{6 b} & - \frac{1}{4 b} & \frac{13}{12 b} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{2 d} & - \frac{1}{4 d} & \frac{3}{4 d} \end{array}]$

Schritt 4.8

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3 d}{a} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

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Schritt 4.8.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3 d}{a} R_{3}$ to make the entry at $1, 3$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3 d}{a} \cdot 0 & - \frac{2 b}{a} - \frac{3 d}{a} \cdot 0 & \frac{3 d}{a} - \frac{3 d}{a} \cdot 1 & \frac{1}{a} - \frac{3 d}{a} (- \frac{1}{2 d}) & 0 - \frac{3 d}{a} (- \frac{1}{4 d}) & 0 - \frac{3 d}{a} \cdot \frac{3}{4 d} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{7}{6 b} & - \frac{1}{4 b} & \frac{13}{12 b} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{2 d} & - \frac{1}{4 d} & \frac{3}{4 d} \end{array}]$

Schritt 4.8.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2 b}{a} & 0 & \frac{5}{2 a} & \frac{3}{4 a} & - \frac{9}{4 a} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{7}{6 b} & - \frac{1}{4 b} & \frac{13}{12 b} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{2 d} & - \frac{1}{4 d} & \frac{3}{4 d} \end{array}]$

Schritt 4.9

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{2 b}{a} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Schritt 4.9.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + \frac{2 b}{a} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{2 b}{a} \cdot 0 & - \frac{2 b}{a} + \frac{2 b}{a} \cdot 1 & 0 + \frac{2 b}{a} \cdot 0 & \frac{5}{2 a} + \frac{2 b}{a} (- \frac{7}{6 b}) & \frac{3}{4 a} + \frac{2 b}{a} (- \frac{1}{4 b}) & - \frac{9}{4 a} + \frac{2 b}{a} \cdot \frac{13}{12 b} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{7}{6 b} & - \frac{1}{4 b} & \frac{13}{12 b} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{2 d} & - \frac{1}{4 d} & \frac{3}{4 d} \end{array}]$

Schritt 4.9.2

Vereinfache $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{6 a} & \frac{1}{4 a} & - \frac{1}{12 a} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{7}{6 b} & - \frac{1}{4 b} & \frac{13}{12 b} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{2 d} & - \frac{1}{4 d} & \frac{3}{4 d} \end{array}]$

Schritt 5

The right half of the reduced row echelon form is the inverse.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{6 a} & \frac{1}{4 a} & - \frac{1}{12 a} \\ - \frac{7}{6 b} & - \frac{1}{4 b} & \frac{13}{12 b} \\ - \frac{1}{2 d} & - \frac{1}{4 d} & \frac{3}{4 d} \end{array}]$