Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 7 & 3 \\ - 6 & - 3 \end{array}]$

Schritt 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Schritt 2

Find the determinant.

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Schritt 2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$7 \cdot - 3 - (- 6 \cdot 3)$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $- 3$ .

$- 21 - (- 6 \cdot 3)$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere $- (- 6 \cdot 3)$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $3$ .

$- 21 - - 18$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 18$ .

$- 21 + 18$

Schritt 2.2.2

Addiere $- 21$ und $18$ .

$- 3$

Schritt 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Schritt 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 3} [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \\ 6 & 7 \end{array}]$

Schritt 5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{3} [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \\ 6 & 7 \end{array}]$

Schritt 6

Multipliziere $- \frac{1}{3}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{3} \cdot 6 & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 7

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{3} \cdot 6 & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 1)) & - \frac{1}{3} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{3} \cdot 6 & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 7.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 1) & - \frac{1}{3} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{3} \cdot 6 & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 7.1.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} - 1 \cdot - 1 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{3} \cdot 6 & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{3} \cdot 6 & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{- 1}{3} \cdot - 3 \\ - \frac{1}{3} \cdot 6 & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 7.3.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 1)) \\ - \frac{1}{3} \cdot 6 & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 7.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{3} \cdot 6 & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 7.3.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 \cdot - 1 \\ - \frac{1}{3} \cdot 6 & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - \frac{1}{3} \cdot 6 & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 7.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ \frac{- 1}{3} \cdot 6 & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 7.5.2

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ \frac{- 1}{3} \cdot (3 (2)) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 7.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 2) & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 7.5.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 7.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - \frac{1}{3} \cdot 7 \end{array}]$

Schritt 7.7

Multipliziere $- \frac{1}{3} \cdot 7$ .

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Schritt 7.7.1

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 7 (\frac{1}{3}) \end{array}]$

Schritt 7.7.2

Kombiniere $- 7$ und $\frac{1}{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & \frac{- 7}{3} \end{array}]$

Schritt 7.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - \frac{7}{3} \end{array}]$