Lineare Algebra Beispiele

[\begin{matrix} 3 & - 9 - 2 & 5 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} 3 & - 9 \\ - 2 & 5 \end{array}]$

Schritt 1

The inverse of a

2 \times 2

$2 \times 2$ matrix can be found using the formula

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where

a d - b c

$a d - b c$ is the determinant.

Schritt 2

Find the determinant.

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Schritt 2.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

3 \cdot 5 - (- 2 \cdot - 9)

$3 \cdot 5 - (- 2 \cdot - 9)$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere

3

$3$ mit

5

$5$ .

15 - (- 2 \cdot - 9)

$15 - (- 2 \cdot - 9)$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere

- (- 2 \cdot - 9)

$- (- 2 \cdot - 9)$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Mutltipliziere

- 2

$- 2$ mit

- 9

$- 9$ .

15 - 1 \cdot 18

$15 - 1 \cdot 18$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

18

$18$ .

15 - 18

$15 - 18$

15 - 18

$15 - 18$

15 - 18

$15 - 18$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere

18

$18$ von

15

$15$ .

- 3

$- 3$

- 3

$- 3$

- 3

$- 3$

Schritt 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Schritt 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

\frac{1}{- 3} [\begin{matrix} 5 & 9 2 & 3 \end{matrix}]

$\frac{1}{- 3} [\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}]$

Schritt 5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

- \frac{1}{3} [\begin{matrix} 5 & 9 2 & 3 \end{matrix}]

$- \frac{1}{3} [\begin{array}{c} 5 & 9 \\ 2 & 3 \end{array}]$

Schritt 6

Multipliziere

- \frac{1}{3}

$- \frac{1}{3}$ mit jedem Element der Matrix.

[\begin{matrix} - \frac{1}{3} \cdot 5 & - \frac{1}{3} \cdot 9 - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot 5 & - \frac{1}{3} \cdot 9 \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Schritt 7

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 7.1

Multipliziere

- \frac{1}{3} \cdot 5

$- \frac{1}{3} \cdot 5$ .

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Schritt 7.1.1

Mutltipliziere

5

$5$ mit

- 1

$- 1$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 5 (\frac{1}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 9 - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} - 5 (\frac{1}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 9 \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Schritt 7.1.2

Kombiniere

- 5

$- 5$ und

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

[\begin{matrix} \frac{- 5}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 9 - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{- 5}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 9 \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

[\begin{matrix} \frac{- 5}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 9 - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} \frac{- 5}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 9 \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Schritt 7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

[\begin{matrix} - \frac{5}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 9 - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 9 \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von

3

$3$ .

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Schritt 7.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in

- \frac{1}{3}

$- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

[\begin{matrix} - \frac{5}{3} & \frac{- 1}{3} \cdot 9 - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & \frac{- 1}{3} \cdot 9 \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Schritt 7.3.2

Faktorisiere

3

$3$ aus

9

$9$ heraus.

[\begin{matrix} - \frac{5}{3} & \frac{- 1}{3} \cdot (3 (3)) - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & \frac{- 1}{3} \cdot (3 (3)) \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Schritt 7.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 3) \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Schritt 7.3.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - 1 \cdot 3 \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Schritt 7.4

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$3$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - 3 \\ - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Schritt 7.5

Multipliziere

$- \frac{1}{3} \cdot 2$ .

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Schritt 7.5.1

Mutltipliziere

$2$ mit

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - 3 \\ - 2 (\frac{1}{3}) & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Schritt 7.5.2

Kombiniere

$- 2$ und

$\frac{1}{3}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - 3 \\ \frac{- 2}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Schritt 7.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - 3 \\ - \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Schritt 7.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$3$ .

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Schritt 7.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in

$- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - 3 \\ - \frac{2}{3} & \frac{- 1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Schritt 7.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - 3 \\ - \frac{2}{3} & \frac{- 1}{3} \cdot 3 \end{array}]$

Schritt 7.7.3

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} & - 3 \\ - \frac{2}{3} & - 1 \end{array}]$