Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} x & 0 & \frac{1}{x} \\ 1 & 0 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & 2 x & \frac{2}{x^{3}} \end{array}]$

Schritt 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Schritt 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 2 x & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$

Schritt 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$x | \begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 2 x & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$

Schritt 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$

Schritt 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$

Schritt 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Schritt 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$\frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Schritt 1.9

Add the terms together.

$x | \begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 2 x & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Schritt 2

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$ .

$x | \begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 2 x & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Schritt 3

Berechne $| \begin{array}{c} 0 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 2 x & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$ .

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Schritt 3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$x (0 \frac{2}{x^{3}} - 2 x (- \frac{1}{x^{2}})) + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Schritt 3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{2}{x^{3}}$ .

$x (0 - 2 x (- \frac{1}{x^{2}})) + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x^{2}}$ in den Zähler.

$x (0 - 2 x \frac{- 1}{x^{2}}) + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Schritt 3.2.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x$ heraus.

$x (0 + x \cdot - 2 \frac{- 1}{x^{2}}) + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Schritt 3.2.1.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x (0 + x \cdot - 2 \frac{- 1}{x \cdot x}) + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Schritt 3.2.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x (0 + x \cdot - 2 \frac{- 1}{x \cdot x}) + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Schritt 3.2.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$x (0 - 2 \frac{- 1}{x}) + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Schritt 3.2.1.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{- 1}{x}$ .

$x (0 + \frac{- 2 \cdot - 1}{x}) + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Schritt 3.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$x (0 + \frac{2}{x}) + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Schritt 3.2.2

Addiere $0$ und $\frac{2}{x}$ .

$x \frac{2}{x} + 0 + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$

Schritt 4

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 2 x \end{array} |$ .

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Schritt 4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$x \frac{2}{x} + 0 + \frac{1}{x} (1 (2 x) + 0 \cdot 0)$

Schritt 4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $2 x$ mit $1$ .

$x \frac{2}{x} + 0 + \frac{1}{x} (2 x + 0 \cdot 0)$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$x \frac{2}{x} + 0 + \frac{1}{x} (2 x + 0)$

Schritt 4.2.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$x \frac{2}{x} + 0 + \frac{1}{x} (2 x)$

Schritt 5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.1

Addiere $x \frac{2}{x}$ und $0$ .

$x \frac{2}{x} + \frac{1}{x} (2 x)$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \frac{2}{x} + \frac{1}{x} (2 x)$

Schritt 5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 + \frac{1}{x} (2 x)$

Schritt 5.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 + 2 \frac{1}{x} x$

Schritt 5.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x}$ .

$2 + \frac{2}{x} x$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 + \frac{2}{x} x$

Schritt 5.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 + 2$

Schritt 5.3

Addiere $2$ und $2$ .

$4$