Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} x & x^{2} & \frac{1}{x} \\ 1 & 2 x & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & 2 & \frac{2}{x^{3}} \end{array}]$

Schritt 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Schritt 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 x & - \frac{1}{x^{2}} \\ 2 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$

Schritt 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$x | \begin{array}{c} 2 x & - \frac{1}{x^{2}} \\ 2 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$

Schritt 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$

Schritt 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- x^{2} | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$

Schritt 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Schritt 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$\frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Schritt 1.9

Add the terms together.

$x | \begin{array}{c} 2 x & - \frac{1}{x^{2}} \\ 2 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | - x^{2} | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Schritt 2

Berechne $| \begin{array}{c} 2 x & - \frac{1}{x^{2}} \\ 2 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$ .

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Schritt 2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$x (2 x \frac{2}{x^{3}} - 2 (- \frac{1}{x^{2}})) - x^{2} | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$x (x \cdot 2 \frac{2}{x^{3}} - 2 (- \frac{1}{x^{2}})) - x^{2} | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Schritt 2.2.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x (x \cdot 2 \frac{2}{x \cdot x^{2}} - 2 (- \frac{1}{x^{2}})) - x^{2} | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Schritt 2.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 2.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$x (2 \frac{2}{x^{2}} - 2 (- \frac{1}{x^{2}})) - x^{2} | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Schritt 2.2.1.2

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{x^{2}}$ .

$x (\frac{2 \cdot 2}{x^{2}} - 2 (- \frac{1}{x^{2}})) - x^{2} | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x (\frac{4}{x^{2}} - 2 (- \frac{1}{x^{2}})) - x^{2} | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Schritt 2.2.1.4

Multipliziere $- 2 (- \frac{1}{x^{2}})$ .

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Schritt 2.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$x (\frac{4}{x^{2}} + 2 \frac{1}{x^{2}}) - x^{2} | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Schritt 2.2.1.4.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$x (\frac{4}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}) - x^{2} | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Schritt 2.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x \frac{4 + 2}{x^{2}} - x^{2} | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Schritt 2.2.3

Addiere $4$ und $2$ .

$x \frac{6}{x^{2}} - x^{2} | \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} | + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Schritt 3

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{x^{2}} \\ 0 & \frac{2}{x^{3}} \end{array} |$ .

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Schritt 3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$x \frac{6}{x^{2}} - x^{2} (1 \frac{2}{x^{3}} + 0 (- \frac{1}{x^{2}})) + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Schritt 3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere $\frac{2}{x^{3}}$ mit $1$ .

$x \frac{6}{x^{2}} - x^{2} (\frac{2}{x^{3}} + 0 (- \frac{1}{x^{2}})) + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Schritt 3.2.1.2

Multipliziere $0 (- \frac{1}{x^{2}})$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$x \frac{6}{x^{2}} - x^{2} (\frac{2}{x^{3}} + 0 \frac{1}{x^{2}}) + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Schritt 3.2.1.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$x \frac{6}{x^{2}} - x^{2} (\frac{2}{x^{3}} + 0) + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Schritt 3.2.2

Addiere $\frac{2}{x^{3}}$ und $0$ .

$x \frac{6}{x^{2}} - x^{2} \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x} | \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$

Schritt 4

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & 2 x \\ 0 & 2 \end{array} |$ .

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Schritt 4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$x \frac{6}{x^{2}} - x^{2} \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x} (1 \cdot 2 + 0 (2 x))$

Schritt 4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x \frac{6}{x^{2}} - x^{2} \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x} (2 + 0 (2 x))$

Schritt 4.2.1.2

Multipliziere $0 (2 x)$ .

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Schritt 4.2.1.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$x \frac{6}{x^{2}} - x^{2} \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x} (2 + 0 x)$

Schritt 4.2.1.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$x \frac{6}{x^{2}} - x^{2} \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x} (2 + 0)$

Schritt 4.2.2

Addiere $2$ und $0$ .

$x \frac{6}{x^{2}} - x^{2} \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x} \cdot 2$

Schritt 5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$x \frac{6}{x \cdot x} - x^{2} \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x} \cdot 2$

Schritt 5.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \frac{6}{x \cdot x} - x^{2} \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x} \cdot 2$

Schritt 5.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6}{x} - x^{2} \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x} \cdot 2$

Schritt 5.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 5.1.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{6}{x} + x^{2} \cdot - 1 \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x} \cdot 2$

Schritt 5.1.2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{6}{x} + x^{2} \cdot - 1 \frac{2}{x^{2} x} + \frac{1}{x} \cdot 2$

Schritt 5.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6}{x} + x^{2} \cdot - 1 \frac{2}{x^{2} x} + \frac{1}{x} \cdot 2$

Schritt 5.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6}{x} - 1 \frac{2}{x} + \frac{1}{x} \cdot 2$

Schritt 5.1.3

Schreibe $- 1 \frac{2}{x}$ als $- \frac{2}{x}$ um.

$\frac{6}{x} - \frac{2}{x} + \frac{1}{x} \cdot 2$

Schritt 5.1.4

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $2$ .

$\frac{6}{x} - \frac{2}{x} + \frac{2}{x}$

Schritt 5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{6}{x} - \frac{2}{x} + \frac{2}{x}$ .

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Schritt 5.2.1

Addiere $- \frac{2}{x}$ und $\frac{2}{x}$ .

$\frac{6}{x} + 0$

Schritt 5.2.2

Addiere $\frac{6}{x}$ und $0$ .

$\frac{6}{x}$