Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} x + 1 & 1 & 1 \\ 1 & x - 1 & 1 \\ 1 & 1 & x \end{array}]$

Schritt 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Schritt 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} x - 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

Schritt 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(x + 1) | \begin{array}{c} x - 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

Schritt 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

Schritt 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$

Schritt 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & x - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & x - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 1.9

Add the terms together.

$(x + 1) | \begin{array}{c} x - 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & x - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 2

Berechne $| \begin{array}{c} x - 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$ .

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Schritt 2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$(x + 1) ((x - 1) x - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & x - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 1) (x \cdot x - 1 x - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & x - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x + 1) (x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & x - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 2.2.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$(x + 1) (x^{2} - x - 1 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & x - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x - 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & x - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 3

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & x \end{array} |$ .

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Schritt 3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$(x + 1) (x^{2} - x - 1) - 1 (1 x - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & x - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x - 1) - 1 (x - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & x - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x - 1) - 1 (x - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & x - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Schritt 4

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & x - 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

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Schritt 4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$(x + 1) (x^{2} - x - 1) - 1 (x - 1) + 1 (1 \cdot 1 - (x - 1))$

Schritt 4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x - 1) - 1 (x - 1) + 1 (1 - (x - 1))$

Schritt 4.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 1) (x^{2} - x - 1) - 1 (x - 1) + 1 (1 - x - - 1)$

Schritt 4.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x - 1) - 1 (x - 1) + 1 (1 - x + 1)$

Schritt 4.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x - 1) - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

Schritt 5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Multipliziere $(x + 1) (x^{2} - x - 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot - 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

Schritt 5.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.2.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 5.1.2.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x^{2} + x (- x) + x \cdot - 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

Schritt 5.1.2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{1 + 2} + x (- x) + x \cdot - 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

Schritt 5.1.2.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$x^{3} + x (- x) + x \cdot - 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

Schritt 5.1.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{3} - x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

Schritt 5.1.2.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.2.3.1

Bewege $x$ .

$x^{3} - (x \cdot x) + x \cdot - 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

Schritt 5.1.2.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{3} - x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

Schritt 5.1.2.4

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{3} - x^{2} - 1 \cdot x + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

Schritt 5.1.2.5

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x^{3} - x^{2} - x + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

Schritt 5.1.2.6

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x^{3} - x^{2} - x + x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

Schritt 5.1.2.7

Mutltipliziere $- x$ mit $1$ .

$x^{3} - x^{2} - x + x^{2} - x + 1 \cdot - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

Schritt 5.1.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x^{3} - x^{2} - x + x^{2} - x - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

Schritt 5.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{3} - x^{2} - x + x^{2} - x - 1$ .

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Schritt 5.1.3.1

Addiere $- x^{2}$ und $x^{2}$ .

$x^{3} - x + 0 - x - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

Schritt 5.1.3.2

Addiere $x^{3} - x$ und $0$ .

$x^{3} - x - x - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

Schritt 5.1.4

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$x^{3} - 2 x - 1 - 1 (x - 1) + 1 (- x + 2)$

Schritt 5.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{3} - 2 x - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 + 1 (- x + 2)$

Schritt 5.1.6

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$x^{3} - 2 x - 1 - x - 1 \cdot - 1 + 1 (- x + 2)$

Schritt 5.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x^{3} - 2 x - 1 - x + 1 + 1 (- x + 2)$

Schritt 5.1.8

Mutltipliziere $- x + 2$ mit $1$ .

$x^{3} - 2 x - 1 - x + 1 - x + 2$

Schritt 5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{3} - 2 x - 1 - x + 1 - x + 2$ .

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Schritt 5.2.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$x^{3} - 2 x - x + 0 - x + 2$

Schritt 5.2.2

Addiere $x^{3} - 2 x - x$ und $0$ .

$x^{3} - 2 x - x - x + 2$

Schritt 5.3

Subtrahiere $x$ von $- 2 x$ .

$x^{3} - 3 x - x + 2$

Schritt 5.4

Subtrahiere $x$ von $- 3 x$ .

$x^{3} - 4 x + 2$