Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} - e^{t} & 1 \\ e^{t} & e^{- t} \end{array}]$

Schritt 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Schritt 2

Find the determinant.

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Schritt 2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- e^{t} e^{- t} - e^{t} \cdot 1$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere $e^{t}$ mit $e^{- t}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.1

Bewege $e^{- t}$ .

$- (e^{- t} e^{t}) - e^{t} \cdot 1$

Schritt 2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- e^{- t + t} - e^{t} \cdot 1$

Schritt 2.2.1.3

Addiere $- t$ und $t$ .

$- e^{0} - e^{t} \cdot 1$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $- e^{0}$ .

$- 1 - e^{t} \cdot 1$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 - e^{t}$

Schritt 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Schritt 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 1 - e^{t}} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

Schritt 5

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{1}{- 1 (1) - e^{t}} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

Schritt 6

Faktorisiere $- 1$ aus $- e^{t}$ heraus.

$\frac{1}{- 1 (1) - (e^{t})} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

Schritt 7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (e^{t})$ heraus.

$\frac{1}{- 1 (1 + e^{t})} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{1 + e^{t}} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

Schritt 9

Multipliziere $- \frac{1}{1 + e^{t}}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{1 + e^{t}} e^{- t} & - \frac{1}{1 + e^{t}} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Schritt 10

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 10.1

Kombiniere $e^{- t}$ und $\frac{1}{1 + e^{t}}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & - \frac{1}{1 + e^{t}} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Schritt 10.2

Multipliziere $- \frac{1}{1 + e^{t}} \cdot - 1$ .

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & 1 \frac{1}{1 + e^{t}} \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + e^{t}}$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Schritt 10.3

Multipliziere $- \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t})$ .

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Schritt 10.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ 1 \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + e^{t}}$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Schritt 10.3.3

Kombiniere $\frac{1}{1 + e^{t}}$ und $e^{t}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Schritt 10.4

Multipliziere $- \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t})$ .

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Schritt 10.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & 1 \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} \end{array}]$

Schritt 10.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + e^{t}}$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} \end{array}]$

Schritt 10.4.3

Kombiniere $\frac{1}{1 + e^{t}}$ und $e^{t}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} \end{array}]$