Lineare Algebra Beispiele

[\begin{matrix} - e^{t} & 1 e^{t} & e^{- t} \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - e^{t} & 1 \\ e^{t} & e^{- t} \end{array}]$

Schritt 1

The inverse of a

2 \times 2

$2 \times 2$ matrix can be found using the formula

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where

a d - b c

$a d - b c$ is the determinant.

Schritt 2

Find the determinant.

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Schritt 2.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

- e^{t} e^{- t} - e^{t} \cdot 1

$- e^{t} e^{- t} - e^{t} \cdot 1$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere

e^{t}

$e^{t}$ mit

e^{- t}

$e^{- t}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.1

Bewege

e^{- t}

$e^{- t}$ .

- (e^{- t} e^{t}) - e^{t} \cdot 1

$- (e^{- t} e^{t}) - e^{t} \cdot 1$

Schritt 2.2.1.2

Wende die Exponentenregel

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

- e^{- t + t} - e^{t} \cdot 1

$- e^{- t + t} - e^{t} \cdot 1$

Schritt 2.2.1.3

Addiere

- t

$- t$ und

t

$t$ .

- e^{0} - e^{t} \cdot 1

$- e^{0} - e^{t} \cdot 1$

- e^{0} - e^{t} \cdot 1

$- e^{0} - e^{t} \cdot 1$

Schritt 2.2.2

Vereinfache

- e^{0}

$- e^{0}$ .

- 1 - e^{t} \cdot 1

$- 1 - e^{t} \cdot 1$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

1

$1$ .

- 1 - e^{t}

$- 1 - e^{t}$

- 1 - e^{t}

$- 1 - e^{t}$

- 1 - e^{t}

$- 1 - e^{t}$

Schritt 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Schritt 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

\frac{1}{- 1 - e^{t}} [\begin{matrix} e^{- t} & - 1 - e^{t} & - e^{t} \end{matrix}]

$\frac{1}{- 1 - e^{t}} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

Schritt 5

Schreibe

- 1

$- 1$ als

- 1 (1)

$- 1 (1)$ um.

\frac{1}{- 1 (1) - e^{t}} [\begin{matrix} e^{- t} & - 1 - e^{t} & - e^{t} \end{matrix}]

$\frac{1}{- 1 (1) - e^{t}} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

Schritt 6

Faktorisiere

- 1

$- 1$ aus

- e^{t}

$- e^{t}$ heraus.

\frac{1}{- 1 (1) - (e^{t})} [\begin{matrix} e^{- t} & - 1 - e^{t} & - e^{t} \end{matrix}]

$\frac{1}{- 1 (1) - (e^{t})} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

Schritt 7

Faktorisiere

- 1

$- 1$ aus

- 1 (1) - (e^{t})

$- 1 (1) - (e^{t})$ heraus.

\frac{1}{- 1 (1 + e^{t})} [\begin{matrix} e^{- t} & - 1 - e^{t} & - e^{t} \end{matrix}]

$\frac{1}{- 1 (1 + e^{t})} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

- \frac{1}{1 + e^{t}} [\begin{matrix} e^{- t} & - 1 - e^{t} & - e^{t} \end{matrix}]

$- \frac{1}{1 + e^{t}} [\begin{array}{c} e^{- t} & - 1 \\ - e^{t} & - e^{t} \end{array}]$

Schritt 9

Multipliziere

- \frac{1}{1 + e^{t}}

$- \frac{1}{1 + e^{t}}$ mit jedem Element der Matrix.

[\begin{matrix} - \frac{1}{1 + e^{t}} e^{- t} & - \frac{1}{1 + e^{t}} \cdot - 1 - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{1 + e^{t}} e^{- t} & - \frac{1}{1 + e^{t}} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Schritt 10

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 10.1

Kombiniere

e^{- t}

$e^{- t}$ und

\frac{1}{1 + e^{t}}

$\frac{1}{1 + e^{t}}$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & - \frac{1}{1 + e^{t}} \cdot - 1 - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & - \frac{1}{1 + e^{t}} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Schritt 10.2

Multipliziere

- \frac{1}{1 + e^{t}} \cdot - 1

$- \frac{1}{1 + e^{t}} \cdot - 1$ .

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Schritt 10.2.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 1

$- 1$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & 1 \frac{1}{1 + e^{t}} - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & 1 \frac{1}{1 + e^{t}} \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere

\frac{1}{1 + e^{t}}

$\frac{1}{1 + e^{t}}$ mit

1

$1$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

⎡ ⎣ \begin{matrix} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Schritt 10.3

Multipliziere

- \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t})

$- \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t})$ .

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Schritt 10.3.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 1

$- 1$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} 1 \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ 1 \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere

\frac{1}{1 + e^{t}}

$\frac{1}{1 + e^{t}}$ mit

1

$1$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Schritt 10.3.3

Kombiniere

\frac{1}{1 + e^{t}}

$\frac{1}{1 + e^{t}}$ und

e^{t}

$e^{t}$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

⎡ ⎣ \begin{matrix} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & - \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t}) \end{array}]$

Schritt 10.4

Multipliziere

- \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t})

$- \frac{1}{1 + e^{t}} (- e^{t})$ .

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Schritt 10.4.1

Mutltipliziere

- 1

$- 1$ mit

- 1

$- 1$ .

⎡ ⎣ \begin{matrix} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & 1 \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} \end{matrix} ⎤ ⎦

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & 1 \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} \end{array}]$

Schritt 10.4.2

Mutltipliziere

$\frac{1}{1 + e^{t}}$ mit

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} e^{t} \end{array}]$

Schritt 10.4.3

Kombiniere

$\frac{1}{1 + e^{t}}$ und

$e^{t}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{e^{- t}}{1 + e^{t}} & \frac{1}{1 + e^{t}} \\ \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} & \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} \end{array}]$