Lineare Algebra Beispiele

[\begin{matrix} - \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \end{matrix}]

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \\ \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \end{array}]$

Schritt 1

The inverse of a

2 \times 2

$2 \times 2$ matrix can be found using the formula

\frac{1}{a d - b c} [\begin{matrix} d & - b - c & a \end{matrix}]

$\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where

a d - b c

$a d - b c$ is the determinant.

Schritt 2

Find the determinant.

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Schritt 2.1

Die Determinante einer

2 \times 2

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

- \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

4

$4$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in

- \frac{1}{4}

$- \frac{1}{4}$ in den Zähler.

\frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})

$\frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$

Schritt 2.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere

$- \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 1$ .

$- \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}) \frac{1}{6}$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere

$\frac{1}{3}$ mit

$1$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6}$

Schritt 2.2.1.2.3

Mutltipliziere

$\frac{1}{3}$ mit

$\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 6}$

Schritt 2.2.1.2.4

Mutltipliziere

$3$ mit

$6$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{18}$

Schritt 2.2.2

$- \frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit

$\frac{6}{6}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{6} + \frac{1}{18}$

Schritt 2.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von

$18$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von

$1$ multiplizierst.

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Schritt 2.2.3.1

Mutltipliziere

$\frac{1}{3}$ mit

$\frac{6}{6}$ .

$- \frac{6}{3 \cdot 6} + \frac{1}{18}$

Schritt 2.2.3.2

Mutltipliziere

$3$ mit

$6$ .

$- \frac{6}{18} + \frac{1}{18}$

Schritt 2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 6 + 1}{18}$

Schritt 2.2.5

Addiere

$- 6$ und

$1$ .

$\frac{- 5}{18}$

Schritt 2.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{18}$

Schritt 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Schritt 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- \frac{5}{18}} [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Teiler von

$1$ und

$- 1$ .

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Schritt 5.1

Schreibe

$1$ als

$- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{- \frac{5}{18}} [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Schritt 5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{\frac{5}{18}} [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Schritt 6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (1 (\frac{18}{5})) [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Schritt 7

Mutltipliziere

$\frac{18}{5}$ mit

$1$ .

$- \frac{18}{5} [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Schritt 8

Multipliziere

$- \frac{18}{5}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} - \frac{18}{5} \cdot \frac{4}{3} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$3$ .

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Schritt 9.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in

$- \frac{18}{5}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} \frac{- 18}{5} \cdot \frac{4}{3} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9.1.2

Faktorisiere

$3$ aus

$- 18$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{3 (- 6)}{5} \cdot \frac{4}{3} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{3 \cdot - 6}{5} \cdot \frac{4}{3} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9.1.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{- 6}{5} \cdot 4 & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9.2

Kombiniere

$\frac{- 6}{5}$ und

$4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 6 \cdot 4}{5} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9.3

Mutltipliziere

$- 6$ mit

$4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 24}{5} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$6$ .

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Schritt 9.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in

$- \frac{18}{5}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & \frac{- 18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9.5.2

Faktorisiere

$6$ aus

$- 18$ heraus.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & \frac{6 (- 3)}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & \frac{6 \cdot - 3}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9.5.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & \frac{- 3}{5} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$3$ .

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Schritt 9.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in

$- \frac{18}{5}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{- 18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9.7.2

Bringe das führende Minuszeichen in

$- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{- 18}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9.7.3

Faktorisiere

$3$ aus

$- 18$ heraus.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{3 (- 6)}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{3 \cdot - 6}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9.7.5

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{- 6}{5} \cdot - 1 & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9.8

Kombiniere

$\frac{- 6}{5}$ und

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{- 6 \cdot - 1}{5} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9.9

Mutltipliziere

$- 6$ mit

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$2$ .

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Schritt 9.10.1

Bringe das führende Minuszeichen in

$- \frac{18}{5}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{- 18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9.10.2

Bringe das führende Minuszeichen in

$- \frac{1}{4}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{- 18}{5} \cdot \frac{- 1}{4} \end{array}]$

Schritt 9.10.3

Faktorisiere

$2$ aus

$- 18$ heraus.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{2 (- 9)}{5} \cdot \frac{- 1}{4} \end{array}]$

Schritt 9.10.4

Faktorisiere

$2$ aus

$4$ heraus.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{2 \cdot - 9}{5} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 2} \end{array}]$

Schritt 9.10.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{2 \cdot - 9}{5} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 2} \end{array}]$

Schritt 9.10.6

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{- 9}{5} \cdot \frac{- 1}{2} \end{array}]$

Schritt 9.11

Mutltipliziere

$\frac{- 9}{5}$ mit

$\frac{- 1}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{- 9 \cdot - 1}{5 \cdot 2} \end{array}]$

Schritt 9.12

Mutltipliziere

$- 9$ mit

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{9}{5 \cdot 2} \end{array}]$

Schritt 9.13

Mutltipliziere

$5$ mit

$2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{9}{10} \end{array}]$