Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & - \frac{1}{6} \\ \frac{1}{3} & \frac{4}{3} \end{array}]$

Schritt 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Schritt 2

Find the determinant.

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Schritt 2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{4}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$

Schritt 2.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere $- \frac{1}{3} (- \frac{1}{6})$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}) \frac{1}{6}$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6}$

Schritt 2.2.1.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 6}$

Schritt 2.2.1.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$- \frac{1}{3} + \frac{1}{18}$

Schritt 2.2.2

Um $- \frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{6} + \frac{1}{18}$

Schritt 2.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $18$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{6}{6}$ .

$- \frac{6}{3 \cdot 6} + \frac{1}{18}$

Schritt 2.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$- \frac{6}{18} + \frac{1}{18}$

Schritt 2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 6 + 1}{18}$

Schritt 2.2.5

Addiere $- 6$ und $1$ .

$\frac{- 5}{18}$

Schritt 2.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{18}$

Schritt 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Schritt 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- \frac{5}{18}} [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 5.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{- \frac{5}{18}} [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Schritt 5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{\frac{5}{18}} [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Schritt 6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (1 (\frac{18}{5})) [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Schritt 7

Mutltipliziere $\frac{18}{5}$ mit $1$ .

$- \frac{18}{5} [\begin{array}{c} \frac{4}{3} & \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{3} & - \frac{1}{4} \end{array}]$

Schritt 8

Multipliziere $- \frac{18}{5}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} - \frac{18}{5} \cdot \frac{4}{3} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{18}{5}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} \frac{- 18}{5} \cdot \frac{4}{3} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 18$ heraus.

$[\begin{array}{c} \frac{3 (- 6)}{5} \cdot \frac{4}{3} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} \frac{3 \cdot - 6}{5} \cdot \frac{4}{3} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9.1.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} \frac{- 6}{5} \cdot 4 & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9.2

Kombiniere $\frac{- 6}{5}$ und $4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 6 \cdot 4}{5} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 24}{5} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 9.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{18}{5}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & \frac{- 18}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9.5.2

Faktorisiere $6$ aus $- 18$ heraus.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & \frac{6 (- 3)}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & \frac{6 \cdot - 3}{5} \cdot \frac{1}{6} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9.5.4

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & \frac{- 3}{5} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ - \frac{18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{18}{5}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{- 18}{5} (- \frac{1}{3}) & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9.7.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{3}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{- 18}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9.7.3

Faktorisiere $3$ aus $- 18$ heraus.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{3 (- 6)}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{3 \cdot - 6}{5} \cdot \frac{- 1}{3} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9.7.5

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{- 6}{5} \cdot - 1 & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9.8

Kombiniere $\frac{- 6}{5}$ und $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{- 6 \cdot - 1}{5} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9.9

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & - \frac{18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.10.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{18}{5}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{- 18}{5} (- \frac{1}{4}) \end{array}]$

Schritt 9.10.2

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{4}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{- 18}{5} \cdot \frac{- 1}{4} \end{array}]$

Schritt 9.10.3

Faktorisiere $2$ aus $- 18$ heraus.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{2 (- 9)}{5} \cdot \frac{- 1}{4} \end{array}]$

Schritt 9.10.4

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{2 \cdot - 9}{5} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 2} \end{array}]$

Schritt 9.10.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{2 \cdot - 9}{5} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 2} \end{array}]$

Schritt 9.10.6

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{- 9}{5} \cdot \frac{- 1}{2} \end{array}]$

Schritt 9.11

Mutltipliziere $\frac{- 9}{5}$ mit $\frac{- 1}{2}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{- 9 \cdot - 1}{5 \cdot 2} \end{array}]$

Schritt 9.12

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{9}{5 \cdot 2} \end{array}]$

Schritt 9.13

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{24}{5} & - \frac{3}{5} \\ \frac{6}{5} & \frac{9}{10} \end{array}]$