Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} \frac{1}{2} & 1 \\ 1 & 1 \end{array}]$

Schritt 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Schritt 2

Find the determinant.

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Schritt 2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} - 1 \cdot 1$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} - 1$

Schritt 2.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1 - 2}{2}$

Schritt 2.2.5.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Schritt 2.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2}$

Schritt 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Schritt 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- \frac{1}{2}} [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 5.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{- \frac{1}{2}} [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{\frac{1}{2}} [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (1 \cdot 2) [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 7

Multipliziere $- (1 \cdot 2)$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 1 \cdot 2 [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 8

Multipliziere $- 2$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot - 1 \\ - 2 \cdot - 1 & - 2 (\frac{1}{2}) \end{array}]$

Schritt 9

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot - 1 \\ - 2 \cdot - 1 & - 2 (\frac{1}{2}) \end{array}]$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 2 \cdot - 1 & - 2 (\frac{1}{2}) \end{array}]$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 2 & - 2 (\frac{1}{2}) \end{array}]$

Schritt 9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 2 & 2 (- 1) \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 9.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 2 & 2 \cdot - 1 \frac{1}{2} \end{array}]$

Schritt 9.4.3

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ 2 & - 1 \end{array}]$