Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} a & a & b \\ a & b & a \\ b & a & a \end{array}]$

Schritt 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Schritt 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} b & a \\ a & a \end{array} |$

Schritt 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$a | \begin{array}{c} b & a \\ a & a \end{array} |$

Schritt 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} |$

Schritt 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- a | \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} |$

Schritt 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

Schritt 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

Schritt 1.9

Add the terms together.

$a | \begin{array}{c} b & a \\ a & a \end{array} | - a | \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} | + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

Schritt 2

Berechne $| \begin{array}{c} b & a \\ a & a \end{array} |$ .

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Schritt 2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a (b a - a \cdot a) - a | \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} | + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

Schritt 2.2

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1

Bewege $a$ .

$a (b a - (a \cdot a)) - a | \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} | + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$a (b a - a^{2}) - a | \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} | + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

Schritt 3

Berechne $| \begin{array}{c} a & a \\ b & a \end{array} |$ .

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Schritt 3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a (b a - a^{2}) - a (a \cdot a - b a) + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$a (b a - a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b | \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$

Schritt 4

Berechne $| \begin{array}{c} a & b \\ b & a \end{array} |$ .

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Schritt 4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$a (b a - a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a \cdot a - b \cdot b)$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$a (b a - a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b \cdot b)$

Schritt 4.2.2

Multipliziere $b$ mit $b$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.2.1

Bewege $b$ .

$a (b a - a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - (b \cdot b))$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$a (b a - a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Schritt 5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a (b a) + a (- a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.2.1

Bewege $a$ .

$a \cdot a b + a (- a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$a^{2} b + a (- a^{2}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Schritt 5.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a^{2} b - a \cdot a^{2} - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Schritt 5.1.4

Multipliziere $a$ mit $a^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.4.1

Bewege $a^{2}$ .

$a^{2} b - (a^{2} a) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Schritt 5.1.4.2

Mutltipliziere $a^{2}$ mit $a$ .

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Schritt 5.1.4.2.1

Potenziere $a$ mit $1$ .

$a^{2} b - (a^{2} a^{1}) - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Schritt 5.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a^{2} b - a^{2 + 1} - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Schritt 5.1.4.3

Addiere $2$ und $1$ .

$a^{2} b - a^{3} - a (a^{2} - b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Schritt 5.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$a^{2} b - a^{3} - a \cdot a^{2} - a (- b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Schritt 5.1.6

Multipliziere $a$ mit $a^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.6.1

Bewege $a^{2}$ .

$a^{2} b - a^{3} - (a^{2} a) - a (- b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Schritt 5.1.6.2

Mutltipliziere $a^{2}$ mit $a$ .

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Schritt 5.1.6.2.1

Potenziere $a$ mit $1$ .

$a^{2} b - a^{3} - (a^{2} a^{1}) - a (- b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Schritt 5.1.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a^{2} b - a^{3} - a^{2 + 1} - a (- b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Schritt 5.1.6.3

Addiere $2$ und $1$ .

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} - a (- b a) + b (a^{2} - b^{2})$

Schritt 5.1.7

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.7.1

Bewege $a$ .

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} - (a \cdot a) (- b) + b (a^{2} - b^{2})$

Schritt 5.1.7.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} - a^{2} (- b) + b (a^{2} - b^{2})$

Schritt 5.1.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.8.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} - 1 \cdot - 1 a^{2} b + b (a^{2} - b^{2})$

Schritt 5.1.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + 1 a^{2} b + b (a^{2} - b^{2})$

Schritt 5.1.8.3

Mutltipliziere $a^{2}$ mit $1$ .

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b (a^{2} - b^{2})$

Schritt 5.1.9

Wende das Distributivgesetz an.

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} + b (- b^{2})$

Schritt 5.1.10

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} - b \cdot b^{2}$

Schritt 5.1.11

Multipliziere $b$ mit $b^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.11.1

Bewege $b^{2}$ .

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} - (b^{2} b)$

Schritt 5.1.11.2

Mutltipliziere $b^{2}$ mit $b$ .

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Schritt 5.1.11.2.1

Potenziere $b$ mit $1$ .

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} - (b^{2} b^{1})$

Schritt 5.1.11.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} - b^{2 + 1}$

Schritt 5.1.11.3

Addiere $2$ und $1$ .

$a^{2} b - a^{3} - a^{3} + a^{2} b + b a^{2} - b^{3}$

Schritt 5.2

Addiere $a^{2} b$ und $a^{2} b$ .

$- a^{3} - a^{3} + 2 a^{2} b + b a^{2} - b^{3}$

Schritt 5.3

Subtrahiere $a^{3}$ von $- a^{3}$ .

$- 2 a^{3} + 2 a^{2} b + b a^{2} - b^{3}$

Schritt 5.4

Addiere $2 a^{2} b$ und $b a^{2}$ .

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Schritt 5.4.1

Stelle $b$ und $a^{2}$ um.

$- 2 a^{3} + 2 a^{2} b + a^{2} b - b^{3}$

Schritt 5.4.2

Addiere $2 a^{2} b$ und $a^{2} b$ .

$- 2 a^{3} + 3 a^{2} b - b^{3}$