Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} p & 1 & 1 \\ q & 1 & q \\ 1 & 1 & p \end{array}]$

Schritt 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

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Schritt 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & p \end{array} |$

Schritt 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$p | \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & p \end{array} |$

Schritt 1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} |$

Schritt 1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} |$

Schritt 1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Schritt 1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Schritt 1.9

Add the terms together.

$p | \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & p \end{array} | - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Schritt 2

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & p \end{array} |$ .

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Schritt 2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (1 p - q) - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $p$ mit $1$ .

$p (p - q) - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Schritt 3

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} |$ .

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Schritt 3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (p - q) - q (1 p - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $p$ mit $1$ .

$p (p - q) - q (p - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (p - q) - q (p - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Schritt 4

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$ .

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Schritt 4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$p (p - q) - q (p - 1) + 1 (1 q - 1 \cdot 1)$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $q$ mit $1$ .

$p (p - q) - q (p - 1) + 1 (q - 1 \cdot 1)$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$p (p - q) - q (p - 1) + 1 (q - 1)$

Schritt 5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$p \cdot p + p (- q) - q (p - 1) + 1 (q - 1)$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $p$ mit $p$ .

$p^{2} + p (- q) - q (p - 1) + 1 (q - 1)$

Schritt 5.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$p^{2} - p q - q (p - 1) + 1 (q - 1)$

Schritt 5.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$p^{2} - p q - q p - q \cdot - 1 + 1 (q - 1)$

Schritt 5.1.5

Multipliziere $- q \cdot - 1$ .

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Schritt 5.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$p^{2} - p q - q p + 1 q + 1 (q - 1)$

Schritt 5.1.5.2

Mutltipliziere $q$ mit $1$ .

$p^{2} - p q - q p + q + 1 (q - 1)$

Schritt 5.1.6

Mutltipliziere $q - 1$ mit $1$ .

$p^{2} - p q - q p + q + q - 1$

Schritt 5.2

Subtrahiere $q p$ von $- p q$ .

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Schritt 5.2.1

Bewege $q$ .

$p^{2} - p q - 1 p q + q + q - 1$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $p q$ von $- p q$ .

$p^{2} - 2 p q + q + q - 1$

Schritt 5.3

Addiere $q$ und $q$ .

$p^{2} - 2 p q + 2 q - 1$