Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 3 & 1 & 0 \\ 4 & 5 & - 2 \\ 0 & - 1 & - 2 \end{array}]$

Schritt 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Schritt 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 1 & - 2 \end{array} |$

Schritt 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 1 & - 2 \end{array} |$

Schritt 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & - 2 \\ 0 & - 2 \end{array} |$

Schritt 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 4 & - 2 \\ 0 & - 2 \end{array} |$

Schritt 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 0 & - 1 \end{array} |$

Schritt 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 0 & - 1 \end{array} |$

Schritt 1.9

Add the terms together.

$3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 1 & - 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 2 \\ 0 & - 2 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 0 & - 1 \end{array} |$

Schritt 2

Mutltipliziere $0$ mit $| \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 0 & - 1 \end{array} |$ .

$3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 1 & - 2 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 2 \\ 0 & - 2 \end{array} | + 0$

Schritt 3

Berechne $| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 1 & - 2 \end{array} |$ .

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Schritt 3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$3 (5 \cdot - 2 - - - 2) - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 2 \\ 0 & - 2 \end{array} | + 0$

Schritt 3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$3 (- 10 - - - 2) - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 2 \\ 0 & - 2 \end{array} | + 0$

Schritt 3.2.1.2

Multipliziere $- - - 2$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$3 (- 10 - 1 \cdot 2) - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 2 \\ 0 & - 2 \end{array} | + 0$

Schritt 3.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3 (- 10 - 2) - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 2 \\ 0 & - 2 \end{array} | + 0$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $2$ von $- 10$ .

$3 \cdot - 12 - 1 | \begin{array}{c} 4 & - 2 \\ 0 & - 2 \end{array} | + 0$

Schritt 4

Berechne $| \begin{array}{c} 4 & - 2 \\ 0 & - 2 \end{array} |$ .

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Schritt 4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$3 \cdot - 12 - 1 (4 \cdot - 2 + 0 \cdot - 2) + 0$

Schritt 4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$3 \cdot - 12 - 1 (- 8 + 0 \cdot - 2) + 0$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $- 2$ .

$3 \cdot - 12 - 1 (- 8 + 0) + 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $- 8$ und $0$ .

$3 \cdot - 12 - 1 \cdot - 8 + 0$

Schritt 5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 12$ .

$- 36 - 1 \cdot - 8 + 0$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$- 36 + 8 + 0$

Schritt 5.2

Addiere $- 36$ und $8$ .

$- 28 + 0$

Schritt 5.3

Addiere $- 28$ und $0$ .

$- 28$