Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 2 q - 1 & 1 & 1 \\ q & 1 & q \\ 1 & 1 & 2 q - 1 \end{array}]$

Schritt 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

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Schritt 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$

Schritt 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(2 q - 1) | \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$

Schritt 1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$

Schritt 1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$

Schritt 1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Schritt 1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Schritt 1.9

Add the terms together.

$(2 q - 1) | \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} | - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Schritt 2

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$ .

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Schritt 2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$(2 q - 1) (1 (2 q - 1) - q) - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $2 q - 1$ mit $1$ .

$(2 q - 1) (2 q - 1 - q) - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $q$ von $2 q$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Schritt 3

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 q - 1 \end{array} |$ .

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Schritt 3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$(2 q - 1) (q - 1) - q (1 (2 q - 1) - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Schritt 3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere $2 q - 1$ mit $1$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 1 - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 1 - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Schritt 4

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$ .

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Schritt 4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 (1 q - 1 \cdot 1)$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $q$ mit $1$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 (q - 1 \cdot 1)$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(2 q - 1) (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Schritt 5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Multipliziere $(2 q - 1) (q - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 q (q - 1) - 1 (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Schritt 5.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 q \cdot q + 2 q \cdot - 1 - 1 (q - 1) - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Schritt 5.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 q \cdot q + 2 q \cdot - 1 - 1 q - 1 \cdot - 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Schritt 5.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.2.1.1

Multipliziere $q$ mit $q$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.2.1.1.1

Bewege $q$ .

$2 (q \cdot q) + 2 q \cdot - 1 - 1 q - 1 \cdot - 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Schritt 5.1.2.1.1.2

Mutltipliziere $q$ mit $q$ .

$2 q^{2} + 2 q \cdot - 1 - 1 q - 1 \cdot - 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Schritt 5.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 q^{2} - 2 q - 1 q - 1 \cdot - 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Schritt 5.1.2.1.3

Schreibe $- 1 q$ als $- q$ um.

$2 q^{2} - 2 q - q - 1 \cdot - 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Schritt 5.1.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 q^{2} - 2 q - q + 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Schritt 5.1.2.2

Subtrahiere $q$ von $- 2 q$ .

$2 q^{2} - 3 q + 1 - q (2 q - 2) + 1 (q - 1)$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 q^{2} - 3 q + 1 - q (2 q) - q \cdot - 2 + 1 (q - 1)$

Schritt 5.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 1 \cdot 2 q \cdot q - q \cdot - 2 + 1 (q - 1)$

Schritt 5.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 1 \cdot 2 q \cdot q + 2 q + 1 (q - 1)$

Schritt 5.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.6.1

Multipliziere $q$ mit $q$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.6.1.1

Bewege $q$ .

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 1 \cdot 2 (q \cdot q) + 2 q + 1 (q - 1)$

Schritt 5.1.6.1.2

Mutltipliziere $q$ mit $q$ .

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 1 \cdot 2 q^{2} + 2 q + 1 (q - 1)$

Schritt 5.1.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 2 q^{2} + 2 q + 1 (q - 1)$

Schritt 5.1.7

Mutltipliziere $q - 1$ mit $1$ .

$2 q^{2} - 3 q + 1 - 2 q^{2} + 2 q + q - 1$

Schritt 5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 q^{2} - 3 q + 1 - 2 q^{2} + 2 q + q - 1$ .

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Schritt 5.2.1

Subtrahiere $2 q^{2}$ von $2 q^{2}$ .

$- 3 q + 1 + 0 + 2 q + q - 1$

Schritt 5.2.2

Addiere $- 3 q + 1$ und $0$ .

$- 3 q + 1 + 2 q + q - 1$

Schritt 5.2.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$- 3 q + 2 q + q + 0$

Schritt 5.2.4

Addiere $- 3 q + 2 q + q$ und $0$ .

$- 3 q + 2 q + q$

Schritt 5.3

Addiere $- 3 q$ und $2 q$ .

$- q + q$

Schritt 5.4

Addiere $- q$ und $q$ .

$0$