Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} - 3 i & 2 j & 4 k \\ 5 i & 1 j & 6 k \\ 2 i & 3 j & 1 k \end{array}]$

Schritt 1

Mutltipliziere $j$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 i & 2 j & 4 k \\ 5 i & j & 6 k \\ 2 i & 3 j & 1 k \end{array}]$

Schritt 2

Mutltipliziere $k$ mit $1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 i & 2 j & 4 k \\ 5 i & j & 6 k \\ 2 i & 3 j & k \end{array}]$

Schritt 3

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 3.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 3.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} j & 6 k \\ 3 j & k \end{array} |$

Schritt 3.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$- 3 i | \begin{array}{c} j & 6 k \\ 3 j & k \end{array} |$

Schritt 3.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 i & 6 k \\ 2 i & k \end{array} |$

Schritt 3.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 2 j | \begin{array}{c} 5 i & 6 k \\ 2 i & k \end{array} |$

Schritt 3.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$

Schritt 3.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$4 k | \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$

Schritt 3.9

Add the terms together.

$- 3 i | \begin{array}{c} j & 6 k \\ 3 j & k \end{array} | - 2 j | \begin{array}{c} 5 i & 6 k \\ 2 i & k \end{array} | + 4 k | \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$

Schritt 4

Berechne $| \begin{array}{c} j & 6 k \\ 3 j & k \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- 3 i (j k - 3 j (6 k)) - 2 j | \begin{array}{c} 5 i & 6 k \\ 2 i & k \end{array} | + 4 k | \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$

Schritt 4.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 3 i (j k - 3 \cdot 6 j k) - 2 j | \begin{array}{c} 5 i & 6 k \\ 2 i & k \end{array} | + 4 k | \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $6$ .

$- 3 i (j k - 18 j k) - 2 j | \begin{array}{c} 5 i & 6 k \\ 2 i & k \end{array} | + 4 k | \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $18 j k$ von $j k$ .

$- 3 i (- 17 j k) - 2 j | \begin{array}{c} 5 i & 6 k \\ 2 i & k \end{array} | + 4 k | \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$

Schritt 5

Berechne $| \begin{array}{c} 5 i & 6 k \\ 2 i & k \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- 3 i (- 17 j k) - 2 j (5 i k - 2 i (6 k)) + 4 k | \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$

Schritt 5.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $- 2$ .

$- 3 i (- 17 j k) - 2 j (5 i k - 12 i k) + 4 k | \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $12 i k$ von $5 i k$ .

$- 3 i (- 17 j k) - 2 j (- 7 i k) + 4 k | \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$

Schritt 6

Berechne $| \begin{array}{c} 5 i & j \\ 2 i & 3 j \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- 3 i (- 17 j k) - 2 j (- 7 i k) + 4 k (5 i (3 j) - 2 i j)$

Schritt 6.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$- 3 i (- 17 j k) - 2 j (- 7 i k) + 4 k (15 i j - 2 i j)$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $2 i j$ von $15 i j$ .

$- 3 i (- 17 j k) - 2 j (- 7 i k) + 4 k (13 i j)$

Schritt 7

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Mutltipliziere $- 17$ mit $- 3$ .

$51 i (j k) - 2 j (- 7 i k) + 4 k (13 i j)$

Schritt 7.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$51 i j k - 2 \cdot - 7 i j k + 4 k (13 i j)$

Schritt 7.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 7$ .

$51 i j k + 14 i j k + 4 k (13 i j)$

Schritt 7.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$51 i j k + 14 i j k + 4 \cdot 13 i k j$

Schritt 7.1.5

Mutltipliziere $4$ mit $13$ .

$51 i j k + 14 i j k + 52 i k j$

Schritt 7.2

Addiere $51 i j k$ und $14 i j k$ .

$65 i j k + 52 i k j$

Schritt 7.3

Bewege $k$ .

$65 j k i + 52 j k i$

Schritt 7.4

Addiere $65 j k i$ und $52 j k i$ .

$117 j k i$