Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 1 & a & b + c \\ 1 & b & a + c \\ 1 & c & a + b \end{array}]$

Schritt 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $2$ by its cofactor and add.

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Schritt 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Schritt 1.3

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & a + c \\ 1 & a + b \end{array} |$

Schritt 1.4

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- a | \begin{array}{c} 1 & a + c \\ 1 & a + b \end{array} |$

Schritt 1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} |$

Schritt 1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} |$

Schritt 1.7

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Schritt 1.8

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$- c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Schritt 1.9

Add the terms together.

$- a | \begin{array}{c} 1 & a + c \\ 1 & a + b \end{array} | + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Schritt 2

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & a + c \\ 1 & a + b \end{array} |$ .

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Schritt 2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- a (1 (a + b) - (a + c)) + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $a + b$ mit $1$ .

$- a (a + b - (a + c)) + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Schritt 2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- a (a + b - a - c) + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Schritt 2.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $a + b - a - c$ .

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Schritt 2.2.2.1

Subtrahiere $a$ von $a$ .

$- a (b + 0 - c) + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Schritt 2.2.2.2

Addiere $b$ und $0$ .

$- a (b - c) + b | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} | - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Schritt 3

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + b \end{array} |$ .

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Schritt 3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- a (b - c) + b (1 (a + b) - (b + c)) - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Schritt 3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere $a + b$ mit $1$ .

$- a (b - c) + b (a + b - (b + c)) - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Schritt 3.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- a (b - c) + b (a + b - b - c) - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Schritt 3.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $a + b - b - c$ .

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Schritt 3.2.2.1

Subtrahiere $b$ von $b$ .

$- a (b - c) + b (a + 0 - c) - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $a$ und $0$ .

$- a (b - c) + b (a - c) - c | \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$

Schritt 4

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & b + c \\ 1 & a + c \end{array} |$ .

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Schritt 4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$- a (b - c) + b (a - c) - c (1 (a + c) - (b + c))$

Schritt 4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $a + c$ mit $1$ .

$- a (b - c) + b (a - c) - c (a + c - (b + c))$

Schritt 4.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- a (b - c) + b (a - c) - c (a + c - b - c)$

Schritt 4.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $a + c - b - c$ .

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Schritt 4.2.2.1

Subtrahiere $c$ von $c$ .

$- a (b - c) + b (a - c) - c (a - b + 0)$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $a - b$ und $0$ .

$- a (b - c) + b (a - c) - c (a - b)$

Schritt 5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- a b - a (- c) + b (a - c) - c (a - b)$

Schritt 5.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- a b - 1 \cdot - 1 a c + b (a - c) - c (a - b)$

Schritt 5.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- a b + 1 a c + b (a - c) - c (a - b)$

Schritt 5.1.3.2

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$- a b + a c + b (a - c) - c (a - b)$

Schritt 5.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- a b + a c + b a + b (- c) - c (a - b)$

Schritt 5.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- a b + a c + b a - b c - c (a - b)$

Schritt 5.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$- a b + a c + b a - b c - c a - c (- b)$

Schritt 5.1.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- a b + a c + b a - b c - c a - 1 \cdot - 1 c b$

Schritt 5.1.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- a b + a c + b a - b c - c a + 1 c b$

Schritt 5.1.8.2

Mutltipliziere $c$ mit $1$ .

$- a b + a c + b a - b c - c a + c b$

Schritt 5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- a b + a c + b a - b c - c a + c b$ .

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Schritt 5.2.1

Ordne die Faktoren in den Termen $- a b$ und $b a$ neu an.

$- a b + a c + a b - b c - c a + c b$

Schritt 5.2.2

Addiere $- a b$ und $a b$ .

$a c + 0 - b c - c a + c b$

Schritt 5.2.3

Addiere $a c$ und $0$ .

$a c - b c - c a + c b$

Schritt 5.2.4

Ordne die Faktoren in den Termen $a c$ und $- c a$ neu an.

$a c - b c - a c + c b$

Schritt 5.2.5

Subtrahiere $a c$ von $a c$ .

$- b c + 0 + c b$

Schritt 5.2.6

Addiere $- b c$ und $0$ .

$- b c + c b$

Schritt 5.2.7

Ordne die Faktoren in den Termen $- b c$ und $c b$ neu an.

$- b c + b c$

Schritt 5.2.8

Addiere $- b c$ und $b c$ .

$0$